En respuesta corta, Sí: el retroceso de la PDE solución con $v(t,L)=0$ y la expectativa coincide en virtud de la Black-Scholes mercado.
En el caso unidimensional, este tema es matemáticamente tratados en la teoría de la escala de la función y la velocidad de medida. Ver Revez-Yor 3er.ed. Ch.VII.3 para más detalles.
No sé si hay algunos rigurosa de teorías sobre el caso general. Pero yo presente una intuitiva esbozar aquí.
Suponiendo un sin arbitraje mercado y dejar que el proceso subyacente es de $X_t$. Entonces, si nosotros decidimos un numeraire $N_t$, tenemos el equivalente de martingala medida $P$ esto hace que cualquier descuento comercial financiero precio de $U_t$ una martingala.
$$M_t = \frac{U_t}{N_t} = E^Q\left[\frac{U_T}{N_T} \Bigg| \mathbb{F_t}\derecho]$$
En el caso de Black Scholes mercado,
$$dX_t=X_t(\mu dt + \sigma dW_t), \qquad N_t=\exp(rt)$$
Por simplicidad, supongamos que $N_t$ puede ser descrito como $N_t = n(t, X_t)$.
Suponga que $X_t$ es un proceso de Markov. Y se supone que si tenemos una expresión $U_t = u(t,X_t)$, entonces la martingala $M_t$ sigue el SDE con el generador infinitesimal $\mathcal{A}$ y una martingala $Y$ que,
$$dM_t = \frac{\partial}{\partial t}g(t, X_t)dt + \mathcal{A}_t g(t, X_t) dt + dY_t, \qquad g(t,x) = \frac{u(t,x)}{n(t,x)}$$
En el caso de Black Scholes modelo, aplicando la fórmula de Ito rendimientos,
$$\mathcal{A}_t = \frac{1}{2}\sigma^2x^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \mu x \frac{\partial}{\partial x}, \qquad dY_t=\sigma X_t g(t,X_t) dW_t$$
A grandes rasgos, lo que Feynman-Kac teorema que dice es que si $g(t, x)$ satisface,
$$\frac{\partial}{\partial t}g(t,x) + \mathcal{A}_t g(t,x) = 0$$
a continuación, se admite que el estocástico representación:
$$g(t, x) = E^P[g(T, X_T)|\mathbb{F}_t] = E^Q\left[\frac{U_T}{N_T} \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho]$$
Y la de Feynman-Kac es el teorema del simple hecho de que $M_t$ se convierte en una martingala.
$$
\begin{align}
E^Q[M_T | \mathbb{F}_t] &= M_t + E^Q\left[ \int_t^T \left( \frac{\partial}{\partial s}g(s, X_s) + \mathcal{A}_s g(s, X_s) \derecho) ds \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] + E^Q\left[\int_t^T dY_s \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] \\
&= M_t
\end{align}
$$
Vamos a considerar a construir el mismo argumento que en el caso de knock out opciones. Deje que $\tau$ ser un golpe de $\tau=\inf\{t | X_t \leq L\}$ y dejar $J_t$ ser el precio de descuento de el hacia abajo y fuera de la opción de $V_t$ con la rentabilidad de la función $f$.
$$J_t = \frac{V_t}{N_t} = E^Q\left[\frac{V_T}{N_T} \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] = E^Q\left[1_{\tau > T} \frac{f(X_T)}{N_T} \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho]$$
Supongamos que $V_t$ se puede expresar como $V_t=v(t, X_t)$.
En virtud de la asunción, $J_t$ también sigue la SDE con el correspondiente martingala parte $Z$.
$$dJ_t = \frac{\partial}{\partial t}h(t, X_t)dt + \mathcal{A}_t h(t, X_t) dt + dZ_t, \qquad h(t,x) = \frac{v(t,x)}{n(t,x)}$$
Tenga en cuenta que el precio de la knock out satisface la siguiente, desde $J_{\tau}=J_T = 0$ en $\{\tau \leq T\}$.
$$E^Q[J_T| \mathbb{F}_t] = E^Q[J_{\tau \wedge T}| \mathbb{F}_t], \qquad \tau \wedge t := \min(\tau, t)$$
A partir de esta ecuación,
$$
\begin{align}
E^Q[J_T | \mathbb{F}_t]=E^Q[J_{\tau \wedge T} | \mathbb{F}_t] &= J_t + E^Q\left[\int_t^{\tau \wedge T} \left( \frac{\partial}{\partial s}h(s, X_s) + \mathcal{A}_s h(s, X_s) \derecho) ds \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] \\
& \qquad + E^Q\left[\int_t^{\tau \wedge T} dZ_s \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] \\
&=J_t + E^Q\left[1_{\tau > T} \int_t^T \left( \frac{\partial}{\partial s}h(s, X_s) + \mathcal{A}_s h(s, X_s) \derecho) ds \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] \\
& \qquad + E^Q\left[1_{t \leq \tau \leq T} \int_t^{\tau} \left( \frac{\partial}{\partial s}h(s, X_s) + \mathcal{A}_s h(s, X_s) \derecho) ds \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho]
\end{align}
$$
Si $h(t,x)$ satisface la PDE,
$$
\frac{\partial}{\partial t} h(t,x) + \mathcal{A}_t h(t,x) = 0 \qquad x > L \\
h(t, L) = 0
$$
el segundo término es igual a cero.
$$E^Q\left[1_{\tau > T} \int_t^T \left( \frac{\partial}{\partial s}h(s, X_s) + \mathcal{A}_s h(s, X_s) \derecho) ds \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho]=0$$
El último término es un poco difícil de tratar con rigor. Aproximadamente, si discretizar el tiempo de intervalo $[t,T]$ con $\{t_0, t_1, \cdots, t_K\}$, $\Delta t=t_{i+1}-t_i$, tenemos los siguientes.
$$
\begin{align}
& E^Q\left[1_{t \leq \tau \leq T} \int_t^{\tau} \left( \frac{\partial}{\partial s}h(s, X_s) + \mathcal{A}_s h(s, X_s) \derecho) ds \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] \\
&\approx \sum_{i=0}^K E^Q\left[1_{t_i \leq \tau \leq t_{i+1}} \int_{t_i}^{t_{i+1}} \left( \frac{\partial}{\partial s}h(s, X_s) + \mathcal{A}_s h(s, X_s) \derecho) ds \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] \\
&\approx \sum_{i=0}^K E^Q\left[1_{t_i \leq \tau \leq t_{i+1}} \int_{t_i}^{t_{i+1}} \left( \frac{\partial}{\partial s}h(s, L) + \mathcal{A}_s h(s, L) \derecho) ds \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] \\
&\approx \sum_{i=0}^K E^Q\left[1_{t_i \leq \tau \leq t_{i+1}} \int_{t_i}^{t_{i+1}} \frac{\partial}{\partial s}h(s, L) ds \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] \\
&\approx \sum_{i=0}^K E^Q\left[1_{t_i \leq \tau \leq t_{i+1}} h(t_i, L) \Bigg| \mathbb{F}_t \derecho] \Delta t = 0
\end{align}
$$
De hecho, esta aproximación asume un montón de cosas, especialmente en cuanto a la regularidad de la solución $h(t,x)$.
El argumento anterior es sólo para mostrar la idea y no es del todo riguroso matemáticamente. Se supone la existencia y regularidad de la solución de la SDE y la PDE, y nunca se menciona acerca de la singularidad.
Si alguien sabe de tratamiento riguroso, por favor ponga una respuesta o un comentario para hacerme saber.
