Primero recapitulemos:
- El mercado está libre de arbitraje si (y sólo si) existe una medida de martingala;
- El mercado es completo si y sólo si la medida de martingala es única;
- En un mercado libre de arbitraje, no necesariamente completo, el precio de cualquier demanda alcanzable está por el valor de la estrategia de réplica asociada o por la expectativa neutra por la expectativa neutral al riesgo de la demanda descontada bajo cualquiera de las medidas de martingala equivalentes (neutrales al riesgo).
Es difícil suponer la existencia de una medida de martingala equivalente si no se da la dinámica del mercado (por ejemplo, si no se sabe qué proceso estocástico impulsa el activo subyacente)
Demostrar que existe una medida de martingala equivalente depende del entorno. Aquí se ha investigado mucho. Puedo recomiendan el siguiente documento que da una visión general decente.
Dejemos que $S_t$ ser el proceso de las acciones. Si $r=0$ y si existe una medida martingala equivalente $Q$ que $S_t exp(-rt)$ = $S_t$ debe ser una martingala (debido a $r=0$ no tenemos descuento). Así, $\mathbb{E}^Q[S_t]=S_0$ .
Dejemos que $P_t$ sea el porflio que utilizamos para cubrir la demanda. Para que podamos crear un arbitraje $P_0=0$ y $\mathbb{P}(P_T\geq 0)=1$ en algún momento $T$ en el futuro debe mantenerse. Si tuviéramos que financiar $w$ -acciones de la acción tomando prestada nuestra cartera sería $P_0=wS_0 - wS_0=0$ . En todo momento $t$ en el futuro el rendimiento esperado será $\mathbb{E}^Q[wS_t - wS_0]=0$ . Ahora $S_t$ es una martingala. Esto significa que $\forall t , \mathbb{P}(S_t<S_0)>0$ . Porque si $\mathbb{P}(S_t<S_0)=0$ para algunos $t$ se deduce que $\mathbb{E}^Q[S_0]<\mathbb{E}^Q[S_t]$ y $S_t$ no sería una martingala.
Esto significa que siempre se tiene una probabilidad positiva de pérdida, independientemente del tiempo que se mantenga el stock (denotado por $\forall t , \mathbb{P}(S_t<S_0)>0$ ) Por lo tanto, el arbitraje que construyó arriba no puede existir.
También tenga en cuenta que en la configuración anterior el precio de su instrumento sería $\mathbb{E}^Q[0.01 \cdot S_\tau]=0.01 \cdot S_0=0.01 \cdot 75=0.75$ . Utilicé muestreo opcional aquí (con $\tau$ siendo el tiempo de parada de $S_t$ llegando a $100$ ).
Alose nota que uso $\mathbb{E}^Q[0.01 \cdot S_\tau]$ para $0.01 \cdot S_t$ es la cartera que replica el pago y como usted sabe el precio del instrumento es igual al precio de la cobertura, etc.
