En el modelo Solow-Swan, el tipo de interés se determinará por el equilibrio del mercado: bajo el supuesto básico de mercados competitivos (y tecnología de rendimientos constantes a escala), obtenemos la conocida relación de equilibrio por período
$$f'(k) = r + \delta \tag{1}$$
En cuanto a la tasa de preferencia temporal pura Piensa en lo siguiente: en este modelo, el ahorro es un porcentaje fijo de salida. Así que el consumo también es un porcentaje fijo de la producción:
$$c = (1-s)f(k) \implies \dot c = (1-s)f'(k)\dot k \tag{2}$$
mientras que también tenemos
$$\dot k = sf(k) - (n+\delta)k \tag{3}$$
Combinando, tenemos
$$\dot c = (1-s)f'(k)\cdot [sf(k) - (n+\delta)k]$$
$$= (1-s)f(k)f'(k)s - (1-s)f'(k)(n+\delta)k$$
y utilizando las relaciones anteriores,
$$\dot c = s(r+\delta)c - (1-s)(r+\delta)(n+\delta)k \tag{4}$$
En el modelo "Ramsey" con maximización de la utilidad intertemporal del consumidor, obtenemos la relación (para la utilidad logarítmica para simplificar)
$$\dot c = (r-\rho(t)) c \tag{5}$$
Obsérvese que he hecho que la tasa de preferencia temporal pura sea variable en el tiempo y, de hecho, este es el caso cuando examinamos las tasas de preferencia variables en el tiempo en el modelo de Ramsey (véase, por ejemplo Barro, R. J. (1999). Ramsey meets Laibson in the neoclassical growth model. Quarterly Journal of Economics, 1125-1152 ).
Para que los consumidores del modelo Solow-Swan se comporten como los consumidores que optimizan la ecuación intertemporal $(4)$ debe ser equivalente a la ecuación $(5)$ por lo que (utilizando ahora la variable tiempo para indicar claramente lo que es variable en el tiempo y lo que no), obtenemos después de eliminar y reordenar
$$s(r(t)+\delta)c(t) - (1-s)(r(t)+\delta)(n+\delta)k(t) =[r(t)-\rho(t)] c(t)$$
$$\implies \big[s(r(t)+\delta) - r(t)+\rho(t)]c(t) = (1-s)(r(t)+\delta)(n+\delta)k(t)$$
$$\implies \rho(t) = (1-s)(r(t)+\delta)(n+\delta)\frac {k(t)}{c(t)} +r(t) - s[r(t)+\delta]$$
$$\implies \rho(t) = (r(t)+\delta)(n+\delta)\frac {k(t)}{f(k(t))} +r(t) - s[r(t)+\delta]$$
La tasa consistente de preferencia temporal pura es endógena, y variable en el tiempo bajo el producto marginal decreciente del capital, y se vuelve constante sólo en el estado estacionario. La relación nos dice a qué $\rho(t)$ deben ser iguales para que el consumidor optimizador encuentre óptimo mantener una tasa de ahorro constante.
Si la función de producción tiene elasticidades de producción constantes (por ejemplo, Cobb-Douglas $f(k) = Ak^a$ ), entonces lo anterior se simplifica a
$$\rho(t) = (n+\delta)a - s\delta + (1-s)r(t) $$
o
$$\rho(t) = (n+\delta)a - \delta + (1-s)f'(k(t)) $$
por lo que sigue siendo variable en el tiempo (sería constante en un modelo con producto marginal del capital constante). Si el capital aumenta hasta su estado estacionario, vemos que la tasa constante de preferencia temporal pura debería caer con el tiempo (que es también el resultado que obtenemos en el modelo de Ramsey con variación temporal $\rho$ ).
En el estado estacionario tenemos $f'(k^*) = a(n+\delta)/s$ así que
$$\implies \rho^* = (n+\delta)a - \delta + \frac{(1-s)a(n+\delta)}{s}$$
$$\implies \rho^* = \frac {an+ (a-s)\delta}{s}$$
Eso es muy bonito, ya que $a$ es el tasa de ahorro de la regla de oro . Para imitar el modelo de Ramsey debemos establecer por tanto $s<a$ por lo que estaremos a la izquierda de la regla de oro (e incluso en el contexto de Solow, fijando $s >a$ es dinámicamente ineficiente). Entonces el estado estacionario consistente $\rho$ será sin duda positiva.
Sólo para probar, ponga $a=0.45, s=0.35, n=0.01, \delta =0.05$ , para conseguir
$$\rho^* \approx 0.027$$
No está lejos del valor de referencia $\rho =0.02$ .
