Me gustaría hacer 5 preguntas sobre las relaciones entre estos procesos.
1) ¿Podría ser el ruido blanco también un paseo aleatorio?
2) ¿Podría ser el paseo aleatorio también ruido blanco?
3) ¿Podría ser el ruido blanco estacionario?
4) ¿Podría ser el paseo aleatorio estacionario?
5) ¿Podría un proceso estacionario tener autocorrelación?
Gracias de antemano.
Voy a suponer que un ruido blanco es un proceso $(\varepsilon_t)$ con media cero, sin autocorrelación y una varianza constante $\sigma^2 > 0$, mientras que un random walk es un proceso $(x_t)$ definido por $$ x_{t+1} = x_t + \varepsilon_{t+1} $$ donde $\varepsilon$ es un ruido blanco.
1) No, ya que $Var(x_{t+1}) = Var(x_t) + Var(\varepsilon_{t+1})$ es estrictamente creciente mientras que la varianza de un ruido blanco es constante.
2) No, misma razón que la anterior.
3) Por definición, es estacionario hasta el orden 2. Un ruido blanco fuerte (es decir, una secuencia i.i.d) es fuertemente estacionario.
4) No, de nuevo porque $Var(x_{t+1}) > Var(x_t).
5) Sí, el ejemplo más simple es un proceso AR(1) $$ x_{t+1} = c + \varphi x_t + \varepsilon_{t+1} $$ Tiene autocorrelación $\rho(j) = \varphi^j$ y es estacionario si $|\varphi| < 1$.
En relación con la relación entre el ruido blanco y un paseo aleatorio, lo expresaría de la siguiente manera: un paseo aleatorio es ruido blanco integrado. [Y viceversa, obtenemos un ruido blanco cuando diferenciamos un paseo aleatorio]. O para expresarlo en términos de finanzas cuantitativas: el ruido blanco es como los cambios diarios en el S&P en puntos, un paseo aleatorio es el propio nivel diario del S&P.
Entonces, solo por diversión, de estas dos series temporales, ¿cuál es el ruido blanco y cuál es el paseo aleatorio?
[2115,2120.5,2117.1,2097.4,2113.4,2114.2,2098.5,2101.6,2099.1,2108.3,2091.3]
[5.5,-3.4,-19.7,16,0.8,-15.7,3.1,-2.5,9.2,-17]
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