¿Por qué Black-Scholes no asume la ausencia de arbitraje estadístico?

Question

Tanto el modelo Black-Scholes como el binomial suponen que no hay arbitraje sin riesgo en el mercado. Pero eso parece una condición muy débil.

Si un esquema de trading te hace ganar 100 dólares con un 99% de probabilidad y perder 5 dólares con un 1% de probabilidad (partiendo de 0), esto no está exento de riesgo, pero será sorprendente que exista tal oportunidad de arbitraje sin ser explotada.

Así pues, o bien a) Black-Scholes no hace predicciones precisas sobre los precios de los derivados, o bien b) el arbitraje estadístico del tipo mencionado anteriormente existe realmente en el modelo Black-Scholes. ¿Cuál de las dos opciones es correcta?

Answer 1

Tampoco.

Black--Scholes no dice nada sobre los valores de los parámetros: $\mu$ y $\sigma.$

Una gran $\mu$ y muy pequeño $\sigma$ es muy poco probable que se produzca realmente en el mercado y, si lo hiciera, podría ganar dinero con alta probabilidad sin utilizar contratos de opciones.

BS dice simplemente que si el mercado sigue un determinado proceso, entonces un determinado precio de la opción es exigible por no haber arbitraje. No dice nada sobre la existencia o inexistencia de muy buenas ofertas.

En la práctica, nadie sabe $\mu$ y por eso la gran fuerza de la BS es que no la necesitas para cotizar.

Básicamente, no prohíbe los valores tontos de los parámetros porque no lo necesita. Sin embargo, eso no significa que tales parámetros se den en un mercado real. En cualquier caso, nadie cree que los precios de las acciones sigan la BM geométrica. La cuestión es si el modelo es lo suficientemente bueno para ser útil, y lo es.

Answer 2

La ausencia de arbitraje estadístico es una condición más fuerte que la condición habitual de NA $$ \nexists \varphi\in \Phi: V(\varphi)>0 \text{ and } \mathbb EV_T(\varphi)>0 \text{ for some } T\geq0 \tag{1} $$ ya que en cuanto existe una estrategia comercial admisible $\varphi\in \Phi$ Satisfaciendo a $(1)$ , proporciona fácilmente el arbitraje estadístico. Ahora, en BS la condición más débil $(1)$ ya es suficiente para demostrar que los precios de las opciones pueden determinarse de forma única, así que por qué imponer entonces supuestos más fuertes en el modelo si no son necesarios.