media condicional y mediana condicional

Question

En el libro de Wooldridge (página 452), dice

Cuando los métodos de desviación lineal absoluta (LAD) se aplican junto a los MCO, a menudo hay razones para pensar a priori que los MCO y los LAD no producirán estimaciones de pendiente similares. (De hecho, es poco probable que la media condicional y la mediana condicional sean ambas lineales en $x_i$ ).

Entiendo que las estimaciones LAD y las estimaciones OLS son generalmente diferentes, pero las palabras entre paréntesis me confunden. ¿Por qué no pueden ser ambas lineales? ¿Podría alguien darme un ejemplo?

Answer 1

En la respuesta de Alecos Papadopoulos, tanto la media condicional como la mediana condicional son lineales en $X$ . En el siguiente ejemplo, la media condicional es lineal en $X$ mientras que la mediana condicional es cuadrática en $X$ . Este ejemplo es un juguete construido, pero toca el corazón de la cuestión.

Ejemplo: Supongamos que $y = \beta_0 + \beta_1 x + u$ y $u = x^2 (w - 1)$ , donde $w \sim \chi_1^2$ y $x$ y $w$ son mutuamente independientes. Entonces, como el comando R qchisq(0.5,1) da, $med(w) \doteq 0.455$ para que $med(u|x) = x^2 (-0.545)$ , mientras que $E(u|x) = 0$ . Por lo tanto, tenemos \begin{equation} E(y|x) = \beta_0 + \beta_1 x, \text{ while } med(y|x) = \beta_0 + \beta_1 x - 0.545 x^2. \end{equation}

Nota: La asimetría de la distribución de errores y la dependencia de $u$ en $x$ son ambos importantes. Si la distribución del error es simétrica, la función de la media condicional y la función de la mediana condicional coinciden. Además, si la distribución de $u$ es independiente de $x$ entonces $med(u|x)$ es distinto de cero pero constante y por tanto $med(y|x)$ es de nuevo lineal en $x$ .

Answer 2

Para ser justos con el autor, la cita dice que "es poco probable", no que "es imposible".

Pero aparte de eso, el vínculo entre "mismas estimaciones" y "linealidad de las relaciones condicionales" es engañoso.

Ejemplo: supongamos que para una distribución incondicional, la mediana $m$ es una función lineal de la media $\mu$ :

$$m = c\mu$$

(esto es por ejemplo aproximadamente el caso para la distribución Gamma ).

Supongamos que modelamos la distribución condicional de $Y$ dado $X$ como una distribución Gamma, con

$$E(Y\mid X) = bX$$

Se deduce entonces que la mediana condicional será

$$m(Y\mid X) = c(bX) = (cb)X = \delta X, \delta \neq b$$

Aquí, la mediana condicional puede modelarse también como una función lineal de las variables condicionantes, pero esperamos que las estimaciones que obtendremos sean diferentes.