Ito Lema problema

Question

Alguien me puede ayudar con el cálculo para este problema.

Tengo estas 3 ecuaciones y con el Lema de Ito tengo que encontrar $dXt$.

\begin{casos} dY= µYdt+σYdB \\ X=\frac{1}{2}cY\\ dc =-aacdt\end{casos}

Answer 1

anote Ito lema para la función de X:

$$dX=\frac{\partial X}{\partial Y}dY+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 X}{\partial Y^2}(dY)^2+\frac{\partial X}{\partial c}dc+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 X}{\partial c^2}(dc)^2+\frac{\partial^2 X}{\partial Y \parcial c}dYdc+\frac{\partial^2 X}{\partial c \partial Y}dcdY$$

Utilizando la siguiente:

$\frac{\partial X}{\partial Y}=\frac{1}{2}c$, $\frac{\partial^2 X}{\partial Y^2}=0$

$\frac{\partial X}{\partial c}=\frac{1}{2}$Y, $\frac{\partial^2 X}{\partial c^2}=0$

$\frac{\partial^2 X}{\partial Y \parcial c}=\frac{\partial^2 X}{\partial c \partial Y}=0$

La inserción de estos 4 expresiones en la anterior fórmula de Ito, se llega a:

$$dX=\frac{1}{2}cdY+\frac{1}{2}Ydc=cY(\frac{\mu}{2}-\frac{a\alpha}{2})dt+\frac{\sigma}{2}YcdB$$

donde la inicial expresiones de $dY$ y $dc$ han sido sustituidos en el último paso. Las soluciones para $Y$ y $c$, son triviales: son la solución de los SDE para una GBM, y un decaimiento exponencial, respectivamente