Kurtosis en GARCH

Question

En un modelo GARCH(1,1)

$$ x_t = \sigma_tz_t$$ $$\sigma_{t+1}^2=a_0 + a_1x_t^2 + b_1\sigma_t^2$$

se puede demostrar que la curtosis (cuando existe) es igual a

$$ \kappa_x = \kappa_z \frac{1-(a_1+b_1)^2}{1 - (a_1+b_1)^2 - a_1^2 (\kappa_z - 1) }$$

donde $\kappa_z$ es la curtosis de $z_t$ . Para las innovaciones normales, es decir, cuando $z_t \sim N(0,1)$ , $\kappa_z = 3$ y con $$ a_0 = 0.01, a_1 = 0.09, b_1=0.9$$

esto da

$$ \kappa_x = 3 \frac{1-(0.99)^2}{1 - (0.99)^2 - 0.09^2 (3 - 1) } \approx 16.14$$

Sin embargo, cuando ejecuto la simulación de este proceso GARCH, encuentro que la curtosis de la muestra está en torno a 7-8. Por ejemplo, el gráfico siguiente muestra la curtosis muestral calculada en 1.000 simulaciones del proceso GARCH anterior con 10.000 pasos de tiempo cada una. No entiendo de dónde viene este desajuste entre el valor teórico anterior y las estimaciones.

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He realizado simulaciones con diferentes ajustes de parámetros para alejar el proceso de IGARCH, pero no parece haber mejorado mucho los resultados. Por ejemplo, con $$ a_0 = 0.2, a_1 = 0.383, b_1 = 0.417$$ la curtosis teórica es de aproximadamente $16.2$ pero en las simulaciones las estimaciones de la muestra producen una curtosis media de aproximadamente $9.7$ y una mediana de aproximadamente $6.7$ (gráfico inferior).

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También realicé simulaciones con una distribución aleatoria t simple con 4,45 grados de libertad (que también da una curtosis de alrededor de 16,3) y calculé la curtosis de la muestra con ellas. El gráfico siguiente muestra los resultados, que también están "agrupados" en torno a 8 con la mediana de 8,78, pero la media se eleva a 20 por los pocos valores atípicos muy grandes (en realidad, es principalmente el más extremo el que lo eleva a 20, sin él la curtosis media es de 12,3). Así que es cualitativamente similar a los resultados GARCH y apoya los argumentos de Matthew Gunn.

Answer 1

Has encontrado parametrizaciones en las que se requieren muestras fantásticamente largas para que los 4º momentos muestrales converjan en los 4º momentos poblacionales.

Pruebas rápidas de estimación imprecisa

Dejemos que $k_i$ denota su curtosis estimada en la simulación $i$ . Mirando a través de su $i = (1,\ldots, 1000)$ simulaciones, su $k_i$ las estimaciones están por todas partes. ¿Cuál es su error estándar para $\frac{1}{n} \sum_i k_i$ ? Es enorme.

Dices que la curtosis de tu muestra es de alrededor de 7-8, pero si tu error estándar es enorme, ¿cómo puedes decir que tu resultado es inconsistente con una curtosis real de 16? No se puede.

Teoría rápida: $\{x^2_t\}$ se acerca a la no estacionariedad

Un GARCH(1,1) implica un ARMA(1,1) en el proceso al cuadrado. Si su modelo GARCH es: $$ x_t = \sigma_tz_t$$ \begin{align*} \sigma_{t}^2&=\omega + a_1x_{t-1}^2 + b_1\sigma_{t-1}^2 \end{align*}

Implica una representación ARMA(1,1) para $\{x^2_t\}$ . Observe que puede escribir $x_t^2 = \operatorname{E}_{t-1}[\sigma^2_tz_t^2] + u_t = \sigma_t^2 + u_t$ . Utilizando el operador de retardo $L$ podemos escribir $(1 - b_1L) \sigma_t^2 = \omega + a_1 L x_{t}^2$ . Combinando esas ecuaciones se obtiene:

$$ x_t^2 = \omega + (a_1 + b_1) x_{t-1}^2 + u_t - b_1 u_{t-1} $$

Aquí se puede ver que si $a_1 + b_1 = 1$ el modelo es no estacionario. Para ti, $a_1+b_1 = .99$ y $\{x_t^2\}$ es increíblemente persistente.

Otro requisito para la existencia de un 4º momento de un GARCH(1,1) es $b_1^2 + 2a_1b_1 + 3a_1^2 < 1$ . ( Véase el teorema (2.3) y el ejemplo 2.4 de Petra Posedel .) Parte de lo que ocurre es que tu segundo ejemplo se acerca a esa restricción. Hablando en términos generales, has encontrado parametrizaciones en las que hay una pequeña probabilidad de choques de volatilidad muy grandes.

Ejemplo sencillo con convergencia lenta de la media muestral en la media poblacional

Dejemos que $X$ denotan una variabilidad aleatoria con un $p=.000001$ (una entre un millón) de 10.000.000 y una $q = 1 - p$ probabilidad de 0.

• Trivialmente, $\operatorname{E}[X] = 10$ .

• En una muestra IID de 1.000 observaciones, hay un 99,9% de probabilidad de que la media muestral sea 0 y aproximadamente un 0,0999% de probabilidad de que la media muestral sea 10.000.

La distribución de la media muestral no es simétrica en torno al valor esperado: habrá muchas más observaciones por debajo que por encima. Observe también que se necesitan tamaños de muestra extremos para que la media muestral converja en la media poblacional.

En términos más generales, los eventos de medidas pequeñas que es poco probable muestrear a través de los métodos de Monte-Carlo pueden tener un impacto significativo en los momentos generales de la población si las variables aleatorias adquieren valores enormes en esos eventos.