¿Por qué gamma y theta tienen signos opuestos?

Question

He visto que algunos libros de texto utilizan la ecuación B-S para explicar por qué gamma y theta tienen signos opuestos en la mayoría de los casos. Por ejemplo, el libro clásico de John Hull.

La explicación es, primero escribir la ecuación B-S en términos de griegos:

$\frac{\partial V}{\partial t}+rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}=rV$

$\Theta+rS\Delta+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\Gamma=rV$

$\Theta+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\Gamma=r(V-S\Delta)$

¿Es necesario suponer que r=0, para sacar la conclusión de que gamma y theta tienen signos opuestos?

Answer 1

Creo que estás respondiendo a tu propia pregunta.

Hull afirma: "Cuando $\Theta$ es grande y positiva, $\Gamma$ tiende a ser grande y negativo y viceversa".

En la práctica, puede esperar $r(V-S \Delta)$ para ser bastante pequeño.

Answer 2

Las opciones largas tienen una gamma positiva porque a medida que el precio aumenta, la Delta de la opción de compra se acerca a 1 desde 0 la Delta de la opción de venta se acerca a 0 desde -1 (piense en $S=0\to+\infty$ ).

Basado en lo siguiente ejemplo numérico , theta y gamma pueden tener signos iguales tanto para la put como para la call.

Si ponemos $r=0$ Tienen signos diferentes.

Answer 3

A medida que pasa el tiempo la línea P/L se acerca cada vez más a la línea P/L de vencimiento.

La volatilidad se resiste a la línea P/L para acercarse a la línea P/L de vencimiento. Se puede pensar en la volatilidad como un elemento elástico entre la línea P/L y la línea P/L de vencimiento. Cuanto mayor sea la volatilidad, mayor será la diferencia entre la línea P/L y la línea P/L de vencimiento.

El tiempo y la volatilidad son fuerzas opuestas en el diagrama P/L.

El tiempo empuja la línea P/L hacia la línea P/L de vencimiento.

La volatilidad aleja la línea P/L de la línea P/L de vencimiento.

La volatilidad afecta al grosor de las láminas diarias de P/L. A mayor volatilidad, mayor grosor de la tajada diaria. https://www.dropbox.com/s/s7pscwm2yp31sha/Screenshot%202020-08-05%2018.51.18.png?dl=0