El problema, estoy tratando de resolver se basa en el papel por Rochet y Vila de 1994 (véase bibliografía abajo). De hecho, es una variante de la seminal papel de Kyle 1985 en finanzas/economía de la literatura. A pesar de que el problema se enmarca en las finanzas de la literatura, el problema matemático asociado con él es mucho más general y se basa en el cálculo de variaciones. Permítanme que les presente el problema:
- Deje que $V \sim N(0, \sigma^2_V)$ denotar el azar el valor de los activos, $U\sim N(0, \sigma^2_U)$ el azar de liquidez del comerciante de la demanda, $X$ la orden por la estratégica comerciante, y $Y=X+U$ el total de la orden de flujo
- La estratégica comerciante observa la realización del valor de los activos $V=v$, el exógeno de liquidez de operaciones $U=u$, y envía una orden de $x(u,v)$ que maximiza sus beneficios comerciales: $\pi(x,u,v)=x(v-P(y))$
- El creador de mercado, observa el total de la orden de flujo $Y=Y$ y establece el precio de venta igual al valor esperado condicional de los activos, es decir, $P(y)=E[V|y]$.
- Un equilibrio de mercado se caracteriza por una estrategia de negociación de $x(u,v)$ y en la fijación de precios de la regla de $P(y)$ tal que: i) Dada la regla de fijación de precios, por cada $(u,v)$, la estrategia de negociación de $x(u,v)$ maximiza el operador informado de ganancia de $\pi$ y ii) dada la estrategia de negociación, el precio de la regla de $P(y)$ establece el precio igual al valor esperado de $V$ condicional en $Y=Y$.
Ahora, los autores muestran que este problema es equivalente al siguiente problema de optimización $\min_{P(\cdot)} E [ \max_x (v-P(x+u))x]$, es decir, el problema puede ser resuelto mediante el cálculo de variaciones. Afirman que la respuesta sea $P(y)=\frac{\sigma_V}{\sigma_U}$ y cual es cierto, una vez que "adivinar y comprobar" la solución. Sin embargo, quiero encontrar la solución a partir de cero, es decir, sin "adivinar y comprobar".
Mis problemas surgen como la función sobre la cual el funcional de $P$ es definido es en sí mismo un valor óptimo. Sabemos que la información privilegiada que maximiza el valor de$x(v-P(x+u))$ o, equivalentemente, $(y-u)(v-P(y))$. Desde el primer orden de condición, se puede calcular el óptimo de la demanda $y(u,v)^*= \frac{v-P(y^*)}{P'(y^*)} +u$ que se traduce en una óptima ganancia de $\pi(y^*,u,v)=\frac{(v-P(y^*))^2}{P'(y^*)}$.
Por lo tanto, el creador de mercado del problema de optimización puede ser reescrita como $$\min_{P(\cdot)} E [ \max_x (v-P(x+u))x]= \int_{ \infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \pi(y^*,u,v) f_V(v) f_U(u) du dv = \int_{ \infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(v-P(y^*))^2}{P'(y^*)} f_V(v) f_U(u) du dv $$ con $f_V$ y $f_U$ siendo el de las funciones de densidad de $V$ y $U$ , respectivamente.
A partir del hecho de que $\pi^*$ es el valor máximo de la operador informado de la función objetivo, podemos utilizar el teorema de la envolvente para simplificar: i) $\frac{d \pi(y^*)}{d}=\frac{\partial \pi(y,u,v)}{\partial u}|_{y=y^*}=-(v-P(y^*))$ y ii) $\frac{d \pi(y^*)}{d v}=(y^*-u)$.
Esto es donde estoy atascado. Mi problema es el hecho de que el argumento $y^*(u,v)$ de la función de la búsqueda para $P(\cdot)$ es en sí misma la solución de un problema de maximización. Especialmente, no sé cómo calcular la integral con respecto a $v$ y $u$.
Cualquier comentarios son muy apreciados. Gracias!
Literatura:
- Rochet y Vila De 1994, "el abuso de información Privilegiada wihtout Normalidad", Review of Economic Studites, Vol. 61, Nº 1, pp 131-152
- Kyle 1985, "Continuo de las Subastas y el uso de información Privilegiada", Econometrica, Vol. 52, Nº 6, pp 1315-1335
