En la valoración de opciones, la volatilidad aparece de forma natural a través del modelo Black-Scholes (BS) donde era un coeficiente para el término de difusión lineal $\sigma S\,\mathrm dW_t$, y como tal representaba la Desviación Estándar escalada en tiempo (SD) de los log-retornos: $$ \mathrm{Var}[\log S_t] = \mathrm{Var}[\sigma W_t] = (\sigma \sqrt t)^2. $$ En particular, si $T$ es la madurez, la SD del log-retorno sobre la inversión inicial $S_0$ está dada por $\sigma \sqrt T$. Debido a la imprecisión del modelo BS, uno lidia con la Volatilidad Implícita del BS (IV) que ajusta los precios de mercado de opciones de vainilla con la fórmula de BS. La superficie IV puede tener una forma bastante general, y podemos calcular la distribución implícita de $S_T$ dadas las precios de mercado de la opción. Así que me pregunto, si la SD de $S_T$ dada por la distribución implícita puede ser calculada en términos de la superficie IV, y si puede darse el caso de que para algunas superficies IV, la SD sea infinita.
Editar: solo para aclarar mi pregunta. Asumamos que el vencimiento $T$, la tasa de interés $r$ y el nivel actual subyacente $S$ están fijos. Denotemos por $\sigma(K)$ la sonrisa IV en el tiempo $T$. Si $C(K,\sigma)$ denota el precio de una opción de compra Europea con un precio de ejercicio $K$, volatilidad $\sigma$ y otros parámetros dados arriba, entonces la distribución implícita de $S_T$ tiene una densidad $$ f(K) = \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d K^2}C(K,\sigma(K)) $$ y por lo tanto la SD de $\log S_T$ es finita si $$ \int_0^\infty (\log x)^2f(x)\mathrm dx <\infty. $$ Mi pregunta es si hay una elección de $\sigma(K)$ que haga que la integral anterior sea infinita, pero aún así satisfaga todas las condiciones necesarias de no arbitraje (spreads verticales no-negativos, etc.)
