La interpretación y la intuición detrás de la Llamada simetría bajo el Modelo de Heston

Question

Actualmente estoy trabajando en un informe sobre la llamada simetría de las relaciones en el modelo de Heston. Hice todas las matemáticas y logró demostrar las relaciones que el uso de inhibidores de la PDE enfoque. Sin embargo, deseo tener una más intuitiva interpretación de la derivada de las relaciones.

En concreto, supongamos que una opción call (Europeo o Americano) con precio de ejercicio de $K$ y el precio de contado $S_0$ es un precio de menos de la Heston dinámica con la inicial de la varianza de $V_0$:

$$ dS_t = (r-q)S_tdt+ \sqrt{v_t}S_tdW_t^1, $$

$$ dv_t = \kappa(\theta - v_t)dt + \sigma\sqrt{v_t}dW_t^2, $$

$$ \rho dt = dW_t^1dW_t^2, $$ su valor será igual a la opción put con precio de ejercicio de $S_0$ y el precio de contado $K$ precio bajo la Heston dinámica con los siguientes parámetros:

$$ r_p = p, $$ $$ q_p = r, $$ $$ \kappa_p = \kappa\rho\sigma, $$ $$ \theta_p = \frac{\kappa\theta}{\kappa\rho\sigma}, $$ $$ V_{0,p} = V_0, $$ $$ \sigma_p = \sigma, $$ $$ \rho_p = -\rho. $$

Mi pregunta principal es: ¿cuál es la interpretación o de la intuición de $$ \kappa_p = \kappa\rho\sigma, $$ $$ \theta_p = \frac{\kappa\theta}{\kappa\rho\sigma}, $$ y $$ \rho_p = -\rho. $$ ¿Alguien tiene una explicación para los cambios en estos tres parámetros? ¿Cuáles son las físicas y las consecuencias financieras? Gracias!

Answer 1

Esto es una consecuencia de la transformación de un Puesto en $S_T$ con la huelga de $K$ en una Llamada en $(K S_0)/S_T$ con la huelga de $S_0$ bajo el stock de medida. El nuevo conjunto de parámetros de $r_p$, $q_p$, $\kappa_p$, etc ... son aquellos que corresponden a la Heston dinámica para el proceso $((K S_0)/S_t, v_t)$ bajo el stock de medida.

Resultados generales en que tipo de simetría se puede encontrar en varios documentos, por ejemplo, Peter Carr y Roger Lee, Poner la Llamada Simetría: Extensiones y Aplicaciones (2007) http://math.uchicago.edu/~rogerlee/PCSR22.pdf.

En la Heston caso de que usted está mirando, empezar desde el Ponga el precio de descuento en expectativa bajo el riesgo de neutro medida $P$: $$ p = e^{-rT} E^P\left[(K - S_T)^+ \derecho] $$ Siguiente volver a escribir como $$ p = e^{-qT} E^P\left[\frac{e^{(q-r)T} S_T}{S_0} \left(\frac{K S_0}{S_T} - S_0\derecho)^+ \derecho]=e^{-qT} E^Q\left[\left(\frac{K S_0}{S_T} - S_0\derecho)^+ \derecho] $$ donde $P$ es el stock de medida definida por el Radón Nikodym derivados $$ \frac{dQ}{dP} =\frac{e^{(q-r)T} S_T}{S_0} $$ Ahora aplicar el Lema de Ito a $X_t=\frac{K S_0}{S_t}$: $$ \frac{dX_t}{X_t}=-(r-q)dt - \sqrt{v_t} dW^1_t+ v_t dt $$ y por último se aplica el teorema de Girsanov para obtener la dinámica de $X_t$ y $v_t$ bajo $Q$: $$ \frac{dX_t}{X_t}=-(r-q)dt - \sqrt{v_t} dW'^1_t+v_t dt - v_t dt=-(r-q)dt + \sqrt{v_t} (-dW'^1_t) \\ d v_t = \kappa (\theta - v_t)dt + \sigma \sqrt{v_t} dW'^2_t+ \rho \sigma v_t dt = (\kappa\rho \sigma ) \left(\frac{\kappa \theta}{\kappa\rho \sigma } - v_t \derecho)dt + \sigma \sqrt{v_t} dW'^2_t$$ con $W'^1$ y $W'^2$ Browniano estándar movimientos por debajo de los $Q$ correlación con $\rho$, de modo que ahora usted es de los precios de una convocatoria en el marco de la nueva Heston parámetros de $r_p$, $q_p$, $\kappa_p$, etc ... se define como en tu post.