Lema 2 en Tirole y Maskin Dinámico de Oligpoly I (1988)

Question

El documento completo se puede encontrar aquí: http://www.dklevine.com/archive/refs4397.pdf. Me refiero aquí al Lema 2 en la página 557.

Mi duda es con respecto a la primera instrucción de la prueba: "Debido a la reacción de las funciones son nonincreasing y $0$ es una realización de la $R^1(q)$, empresa 1 debe reaccionar a cualquier cantidad por encima de los $q$ mediante la configuración de $0$ con una probabilidad de 1$$". ¿Por qué es eso así? Si $0$ es una posible realización de la $R^1(q)$ (si he entendido correctamente lo que los autores entienden por la realización , ya que la reacción de las funciones pueden ser entendidos como variables aleatorias --, y tal vez ahí es donde me preocupan), lo que garantiza el hecho de que cualquier pequeña cantidad por encima de los $q$ se hacen firmes 1 conjunto de su función de reacción es igual a $0$?

Answer 1

La monotonía de resultados que se demuestran en su lema 1 (p. 556) es más fuerte de lo que crees: se afirma que cuando $q>q'$, el apoyo de $R_1(q)$ es "de manera uniforme a continuación" el apoyo de $R_1(q')$. En otras palabras, es imposible encontrar cualquier realizaciones $(r,r'))$ de $R_1(q)$ y $R_1(q')$, respectivamente, tales que $r>r'$.

La prueba de este resultado se basa en la idea de que las empresas de decisiones estratégicas sustitutos en la Cournot modelo de duopolio: el más firme 2 produce, el menos firme 1 quiere producir. Por lo tanto, si la empresa 1 se encuentra que es óptimo para producir una cantidad de $r'$ con probabilidad positiva cuando la empresa 2 produce $q$, no puede encontrar que es óptimo para producir una mayor cantidad ($r>r'$) cuando la empresa 2 produce más ($q>q')$.

Consideran, por tanto, un nivel de producción $q$ por la firma 2 tales que $0$ es una realización de $R_1(q)$. Tomar $\epsilon>0$, y supongamos que existe $r>0$, que es una realización de $R_1(q+\epsilon)$. La condición \begin{ecuación*} r > 0 \text{ y } p<p+\epsilon \end{ecuación*} viola su lema 1, desde $r$ es una realización de $R_1(q+\epsilon)$ y $q$ es una realización de $R_1(q)$. Esto demuestra que $R_1(q+\epsilon)$ tiene todo su peso sobre 0.