El Movimiento Browniano geométrico - el aumento de las simulaciones o menor tamaño de paso

Question

Estoy ejecutando simulaciones de Monte Carlo para la estimación futura de los precios de las acciones de algunas poblaciones.

Para las acciones de Una, necesito 1 precio de la acción de exactamente un año a partir de ahora.

Para la acción B, necesito precios por día por cada día de negociación para el próximo año.

Ambos modelos son simuladas, digamos, 1000 veces.

Como dt es menor de B, esto aumenta la precisión en el precio de la acción en la fecha de un año a partir de ahora. Pero, ¿cómo demostrarlo? Y, ¿cuál es la relación entre el número de simulaciones y el paso de tiempo el tamaño?

Editar: Estoy usando 3 año lognormal diario devuelve a la estimación de la volatilidad; la deriva se basa en un bono cupón cero con el término igual a la vigencia de la opción/acción (en este caso 1 año). Ambos se mantienen constantes durante la simulación de año. Los números aleatorios se generan usando Mersenne Twister algoritmo.

Precio de las acciones en el tiempo t se calcula por:

Para Una, dt = 1 $$ S_{t}= S_0 \cdot exp((r-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma\sqrt{dt}Z) $$

Para la B, yo estoy usando el de Euler de discretización, dt = 1/255 $$ S_{t+dt}= S_t \cdot exp((r-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma\sqrt{dt}Z) $$

Answer 1

Puesto que usted está utilizando el movimiento browniano geométrico (GBM) como su modelo, existe una fuerte (y, por tanto, débil) solución del SDE. Es decir, que la simulación que, presumiblemente, se ve como

$$ S^A_T \sim S^A_0 \exp\left( \left(r-q-\frac12 \sigma^2\derecho) T + z \sigma \sqrt{T} \derecho) $$

para gauss estándar $z$ ha, precisamente, el de la distribución correcta.

Debido a que las sumas de gauss variables son propios de gauss, su encadenados de simulación para la acción B se aplica la fórmula

$$ S^B_{t_i} \sim S^B_{t_{i-1}} \exp\left( \left(r-q-\frac12 \sigma^2\right) (t_{i}-t_{i-1}) + z \sigma \sqrt{t_{i}-t_{i-1}} \derecho) $$

que los telescopios en

$$ S^B_{t_N} \sim S^B_0 \prod_{i=1}^N \exp\left( \left(r-q-\frac12 \sigma^2\right) (t_{i}-t_{i-1}) + z \sigma \sqrt{t_{i}-t_{i-1}} \derecho) $$

o

$$ S^B_{t_N} \sim S^B_0 \exp\left( \sum_{i=1}^N \left(r-q-\frac12 \sigma^2\right) (t_{i}-t_{i-1}) + z \sigma \sqrt{t_{i}-t_{i-1}} \derecho) $$

y también es correcto en términos distributivos.

Por lo tanto, la simulación de las acciones de Una con un 1 año intervalo de tiempo no es menos precisa que la simulación de stock B.

Ahora, si estás usando una de Euler o Milstein discretización de la GBM de la acción B SDE, entonces usted tendría que preocuparse acerca de la exactitud relativa.

Answer 2

a) no hay ningún punto de hacer cualquier simulaciones entre AHORA y 1 AÑO. simular 1 año precio de las acciones directamente.

b) aquí la preocupación acerca de la RUTA de stoch proceso, con el fin de simular cada día, pero no simular "entre" o "dentro de" días.

efectivamente procedimiento b utiliza algo de procedimiento, con los ajustes apropiados para la deriva y vol

para medir la "exactitud" calcular los intervalos de confianza. sus estimaciones a la distribución normal, varianza de la muestra es proporcional a la RAÍZ cuadrada (N), donde N es el número de simulaciones. así que si usted hace 4 veces más de la simulación se obtiene doble estimación más precisa SQRT(4)=2. el aumento de N es muy costoso, mejor utilizar técnicas de reducción de Varianza (ver wiki).