Correlación -1 y desviación típica

Question

Mi libro dice que para una cartera de dos acciones:

$\sigma_p = \sqrt{w_A^2 \sigma_A^2 + (1-w_A)^2 \sigma_B^2 + 2 w_A (1 - w_A) \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B}$

En otro lugar dice que si la correlación es -1, entonces la desviación típica es 0.

Sin embargo, cuando sustituyo $\rho_{AB}$ con $-1$ claramente $\sigma_p \neq 0$ .

¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

$\sigma_p=\sqrt{\omega_a^2 \sigma_a^2+(1-\omega_a)^2 \sigma_b^2+2 \omega_a (1-\omega_a) \rho_{ab} \sigma_a \sigma_b}$

con

$\rho_{ab}=-1$

el término bajo root cuadrada se simplifica a

$(\omega_a \sigma_a-(1-\omega_a) \sigma_b)^2$

que equivale a $(-\omega_a \sigma_a+(1-\omega_a) \sigma_b)^2$

por lo tanto

$\sigma_p=\omega_a \sigma_a-(1-\omega_a) \sigma_b$

o $\sigma_p=-\omega_a \sigma_a+(1-\omega_a) \sigma_b$

"Cada ecuación sólo es válida cuando el lado derecho es positivo. Dado que una es siempre positiva cuando la otra es negativa (excepto cuando ambas ecuaciones son iguales a cero), existe una solución única para el riesgo y la rentabilidad de cualquier combinación de valores A y B".

Ref. Teoría moderna de carteras y análisis de inversiones página 72 (caso 2)

Ejecutando algunos datos de prueba, con correlación negativa perfecta el mínimo es cero.

Datos de la prueba

a = {0.9624, 1.6462, -0.0378, -4.0397, 0.2045}
b = {-3.6569, -4.5494, -2.2938, 3.1099, -2.6359}

$\sigma_a=2.21804$

$\sigma_b=2.99359$

$\omega_a1=\frac{\sigma_b+\sigma_p}{\sigma_a+\sigma_b}$

$\omega_a2=\frac{\sigma_b-\sigma_p}{\sigma_a+\sigma_b}$

con $\sigma_p=0$

$\omega_a1=\omega_a2=0.574406$