Teorema de Girsanov para el ajuste Quanto/Compo

Question

Supongamos que tengo un activo extranjero $$Y_t = Y_0 \exp \left((r_f-\frac{1}{2}\sigma^2_Y)t+\sigma_Y W_t^1\right)$$ y un tipo de cambio $$X_t = X_0 \exp\left((r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2_X)t+\sigma_X W_t^2\right)$$

Me gustaría calcular la expectativa de $Y_tX_t$ bajo la medida del mercado nacional rsik-neutral. Sé que me gustaría utilizar a Girsanov, pero no estoy seguro de cómo enfocarlo.

Mi objetivo final sería entonces ampliar el funcionamiento a $Y_t^2 X_t $ o $X_t^2 Y_t$ o $X_t^2 Y_t^2$ etc. por lo que este cambio de medida me sería útil

Answer 1

Asumir determinista y constante de las tasas de interés.

Para un inversor en el exterior de la economía es decir, un participante en el mercado que sólo puede operar los activos de la entrega de un pago en moneda extranjera, vamos a definir

$$ \tilde{X}_t = \tilde{X}_0 \exp \left(\left(r_f-r_d-\frac{\sigma_\tilde{X}^2}{2}\derecho)+\sigma_\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \right) $$

$$ Y_t =Y_0\exp \left(\left((r_f-\frac{\sigma_Y^2}{2}\right)t+\sigma_Y W_t^{Y,\mathbb{Q}^f} \right) $$ donde

• $\mathbb{Q}^f$ cifras de los extranjeros neutrales al riesgo de medida (libre de riesgo MMA $B^f_t = \exp(r_f\ t)$ es la numéraire).
• $\tilde{X}_t$ representa la instantánea DOM/POR tasa de cambio. $\tilde{X}_t = \text{x}$ significa que, en vez de $t$, 1 unidad de la moneda nacional es igual a $\text{x}$ unidades de moneda extranjera.
• $Y_t$ equidad subyacente denominados en moneda extranjera.

Supongamos además que el 2 Browniano mociones $W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f}$ y $W_t^{Y,\mathbb{Q}^f}$ se correlacionan $$ d\langle W^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f}, W^{Y,\mathbb{Q}^f} \rangle_t = \rho dt $$

Observe cómo he utilizado $\tilde{X}_t$ (DOM/) y no $X_t$ (PARA/DOM) como usted propone, porque en el exterior de la economía, la única negociables activos son: $Y_t$, $B^f_t$ y $B^d_t \tilde{X}_t$ como se indicó anteriormente (y estos deben ser todo $\mathbb{Q}^f$-martingales cuando se expresa bajo la numéraire $B_t^f$). Tenemos la relación, $\tilde{X}_t = 1/X_t $.

Gracias al teorema fundamental de la valuación de activos, para cualquier negociables activo $V_t$ denominados en moneda extranjera, tenemos que, en virtud de los extranjeros neutrales al riesgo de la medida $\mathbb{Q}^f$

$$ \frac{V_t}{B^f_t} \text{ es } \mathbb{Q}^f \text{- martingala} \ffi \frac{V_0}{B^f_0} = E^{\mathbb{Q}^f}_0 \left[ \frac{V_t}{B^f_t} \derecho] $$

Bajo el riesgo interno de neutro medida $\mathbb{Q}^d$ (libre de riesgo MMA $B^d_t = \exp(r_d\ t)$ es la numéraire)

$$ \frac{V_t/\tilde{X}_t}{B^d_t} \text{ es } \mathbb{Q}^d \text{- martingala} \ffi \frac{V_0/\tilde{X}_0}{B^d_0 } = E^{\mathbb{Q}^d}_0 \left[ \frac{V_t /\tilde{X}_t^d}{B^d_t} \derecho] $$ en las palabras, en el exterior el valor de los activos convertidos a moneda nacional de las unidades es una martingala bajo el riesgo interno de neutro medida.

A partir de lo anterior, vemos que el Radon-Nikodym derivados escribe $$ \left. \frac{d\mathbb{Q}^d}{d\mathbb{Q}^f} \right\vert_{\mathcal{F}_0} = \frac{B_0^f B_t^d \tilde{X}_t}{B_t^f B_0^d \tilde{X}_0} $$ sin embargo, debido a que \begin{align} \tilde{X}_t &= \tilde{X}_0\exp \left(\left(r_f-r_d-\frac{1}{2}\sigma_\tilde{X}^2\derecho)t+\sigma_\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \derecho) \\ &= \tilde{X}_0 \frac{B^f_t}{B^f_0}\frac{B^d_0}{B^d_t}\exp \left(-\frac{1}{2}\sigma_\tilde{X}^2t+\sigma_\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \derecho) \end{align}

este deriative también escribe \begin{align} \a la izquierda. \frac{d\mathbb{Q}^d}{d\mathbb{Q}^f} \right\vert_{\mathcal{F}_0} &= \exp\left(\sigma_\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f}-\frac{1}{2}\sigma_\tilde{X}^2\derecho) \\ &= \mathcal{E}\left(\sigma_\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \derecho) \end{align} que es de hecho un buen comportamiento Doléans-Dade exponencial donde hemos usado la notación $$\mathcal{E}(M_t) = \exp \left( M_t - \frac{1}{2}\langle M \rangle_t \right)$$ para denotar que el estocástico exponencial.

Por lo tanto el teorema de Girsanov puede ser aplicado a transformar Browniano movimientos en $\mathbb{Q}^f$ como Browniano movimientos en $\mathbb{Q}^d$. ¿Cómo funciona?

Teorema de Girsanov (no riguroso versión) - Let $W_t^{\mathbb{Q^f}}$ representan un estándar de movimiento Browniano en $\mathbb{Q^f}$ y asumir el Radon-Nikodym derivado puede ser escrita como: $$ \left. \frac{d\mathbb{Q}^d}{d\mathbb{Q}^f} \right\vert_{\mathcal{F}_0} = \mathcal{E}(L_t) $$ En ese caso, el proceso $W_t^{\mathbb{Q^d}}$ se define como $$ W_t^{\mathbb{Q^d}} = W_t^{\mathbb{Q^f}} - \langle W^{\mathbb{Q^f}}, L \rangle_t $$ es un estándar de un movimiento Browniano en $\mathbb{Q^d}$.

En nuestro ejemplo particular, vemos que $$L_t := \sigma_\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} $$

Aplicando el teorema de Girsanov, a continuación, nos permite escribir \begin{align} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^d} &= W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} - \langle W^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f}, \sigma_\tilde{X} W^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \rangle_t \\ &= W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} - \sigma_\tilde{X}t \\ W_t^{Y,\mathbb{Q}^d} &= W_t^{Y,\mathbb{Q}^f} - \langle W^{Y,\mathbb{Q}^f}, \sigma_\tilde{X} W^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \rangle_t \\ &= W_t^{Y,\mathbb{Q}^f} - \rho \sigma_\tilde{X} t \end{align} lo que significa que, al pasar de $\mathbb{Q}^f$ a $\mathbb{Q}^d$ uno puede sustituir \begin{align} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} = W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^d} + \sigma_\tilde{X} t \\ W_t^{Y,\mathbb{Q}^f} = W_t^{Y,\mathbb{Q}^d} + \rho \sigma_\tilde{X} t \\ \end{align} en las expresiones para $\tilde{X}_t$ y $Y_t$ a obtener: \begin{align} \tilde{X}_t = \tilde{X}_0 \exp \left(\left(r_f - r_d + \frac{\sigma_\tilde{X}^2}{2}\right) t + \sigma_\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^d} \derecho) \\ Y_t = Y_0 \exp \left(\left(r_f + \rho \sigma_\tilde{X} \sigma_Y - \frac{\sigma_Y^2}{2}\right) t + \sigma_Y W_t^{Y,\mathbb{Q}^d} \derecho) \end{align}

Ahora, supongamos que queremos calcular la expectativa de $Y_tX_t = Y_t/\tilde{X}_t$ en $\mathbb{Q}^d$. La variable aleatoria $Y_t/\tilde{X}_t$ ser lognormally distribuido (cociente de dos lognormals), con una media de $$ \mu = \ln(Y_0/\tilde{X}_0) + \left(r_d - \frac{\sigma^2_X - 2\rho\sigma_\tilde{X}\sigma_Y + \sigma_Y^2}{2}\right)t $$ y la varianza $$ \sigma^2 = \left(\sigma_\tilde{X}^2 - 2 \rho \sigma_\tilde{X} \sigma_Y + \sigma_Y^2 \derecho)t $$ la aplicación de la fórmula habitual da \begin{align} E^{\mathbb{Q}^d}[Y_t/\tilde{X}_t] &= \exp \left(\mu+\frac{\sigma^2}{2} \derecho) \\ &= Y_0/\tilde{X}_0 \exp \left(r_d t \derecho) \\ &= Y_0/\tilde{X}_0 B_t^d \end{align} por lo tanto $$ E^{\mathbb{Q}^d} \left[ \frac{Y_t/\tilde{X}_t}{B_t^d} \derecho] = \frac{Y_0/\tilde{X}_0}{B_0^d} $$ como debería, puesto que ya sabía que $$ \frac{Y_t/\tilde{X}_t}{B^d_t} \text{ era } \mathbb{Q}^d \text{- martingala} $$

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Por quanto derivados preferimos expresar la equidad/forex dinámica en términos de $X_t$ el/DOM tasa de cambio en lugar de la DOM/tipo DE cambio $\tilde{X}_t$. Esto se puede hacer a través de una sencilla aplicación de Itô del lema de notar que $\tilde{X}_t = 1/X_t$. Esto suele producir: \begin{align} \frac{dX_t}{X_t} = (r_d - r_f) dt + \sigma_X dW_t^{X,\mathbb{Q}^d} \\ \frac{dY_t}{Y_t} = (r_f - \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y) dt + \sigma_Y dW_t^{Y,\mathbb{Q}^d} \end{align} donde hemos introducido $$ W_t^{X,\mathbb{Q}^d} = -W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^d} $$ tal que $$ \langle W_t^{X,\mathbb{Q}^d}, W_t^{Y,\mathbb{Q}^d} \rangle_t = \rho_{XY} t = -\rho t $$ y hemos utilizado $\sigma_X = \sigma_{\tilde{X}}$ para mayor claridad.

Por lo tanto, finalmente, por debajo de los $\mathbb{Q}^d$, podemos escribir:

$$ X_t = X_0 \exp \left(\left(r_d-r_f-\frac{\sigma_X^2}{2}\derecho)+\sigma_X W_t^{X,\mathbb{Q}^d} \right) $$

$$ Y_t = Y_0\exp \left(\left(r_f - \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y -\frac{\sigma_Y^2}{2}\right)t + \sigma_Y W_t^{Y,\mathbb{Q}^d} \right) $$

donde la cantidad $$ F(0,t) = E^{\mathbb{Q}^d}_0 \left[ Y_t \derecho] = Y_0\exp \left(\left(r_f - \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y\derecho)t\right) $$ es conocido como el quanto adelante.

y es una vez más fácil de demostrar que $$ \frac{Y_tX_t}{B_t^d} \text{ es } \mathbb{Q}^d \text{- martingala} $$ utilizando el hecho de que $Z=Y_t X_t$ es un producto de lognormals (y no una relación como antes)