¿Pueden los precios de las opciones caracterizarse por un ODE?

Question

Si el precio de las acciones, $S(t)$ se rige por un movimiento browniano geométrico. ¿Es posible caracterizar el valor de una opción $V(S,t)$ como una ODE en lugar de una PDE (dado $S$ es en sí misma una función de $t$ )? Por lo tanto, ¿es posible escribir una solución de forma cerrada como una función de $t$ ?

Disculpa si esta es una pregunta estúpida (soy nuevo en QF).

Answer 1

No es posible para lo que la mayoría de la gente piensa que son opciones, pero hay clases de opciones para las que se utiliza un ODE.

Para un ejemplo no trivial, piense en perpetuo Opciones de ejercicio americano. Debido al ejercicio perpetuo, el valor de la opción es independiente del tiempo. En lugar de la PDE de Black-Scholes

$$ \frac { \partial f}{ \partial t} = \frac12 \sigma ^2 x^2 f^{ \prime \prime } + r x f^ \prime -rf $$

obtenemos el ODE homogéneo en el tiempo

$$ 0= \frac12 \sigma ^2 x^2 f^{ \prime \prime } + r x f^ \prime -rf $$

Resolviendo este ODE, uno encuentra que hay una barrera, $x^ \star $ más allá del cual un perpetuo americano debe ser ejecutado. La solución es una función relativamente simple

$$ K \left ( \frac {K}{S} \left ( 1- \frac {2r}{2r+ \sigma ^2} \right ) \right )^{2r/ \sigma ^2} $$

Esta solución fue, hasta donde puedo decir, derivada por primera vez por McKean en 1965. Como puedes ver, funciona principalmente porque fuimos capaces de eliminar una de las variables (precio subyacente, tiempo) del ODE. La mayoría de las opciones tienen claramente un valor que depende de ambas.

Ejemplos más triviales incluyen los bonos, que no tienen ninguna opcionalidad de la que hablar, pero siguen el ODE

$$ \frac {dB}{dt}= -(r+h) B $$

y CDS que en el modelo de Poisson siguen el mismo ODE con diferentes condiciones límite.