Una pregunta sobre el multiplicador de Lagrange (cuando $\lambda=0$ )

Question

Necesito ayuda en un problema de maximización (encontrar la cartera de inversión óptima). donde $R_s$ y $\Phi$ son $n$ por $1$ y las demás variables son escalares.

$C^s$ es el consumo (o la riqueza) de un inversor, $R_s$ (o $R$ ) son las tasas de rendimiento de los activos de riesgo, mientras que $R_f$ es la tasa de rendimiento de un activo sin riesgo (por ejemplo, la deuda pública), $\Phi$ es la cantidad de activos de riesgo, $\phi_f$ es la cantidad del activo sin riesgo, $\omega$ es la cantidad de todos los activos (así $\phi_f+\Phi' \cdot 1=\omega$ ), y $u(\cdot)$ es la función de utilidad del inversor.

La solución a este problema da la siguiente condición de primer orden (FOC), es decir, tomando la derivada con respecto a $\Phi$ (suponiendo que la integración y la diferenciación puedan intercambiarse):

Pero en realidad hay una limitación: $\phi_f+\Phi' \cdot 1=\omega$ Así que probé con Lagrange pero no conseguí el mismo resultado: $$L(\Phi, \lambda)=E[u(c)]+\lambda(\omega-\phi_f-\Phi' \cdot 1 )$$ con los BDC: $$\partial L/\partial \Phi =E[u'(c)(R-1\cdot R_f)]-\lambda \cdot 1=0$$ $$\partial L/\partial \lambda =\omega-\phi_f-\Phi' \cdot 1 =0$$ No pude obtener el mismo resultado de arriba. Para tener el resultado en la solución debo tener $\lambda=0$ pero no estoy seguro de en qué casos se puede mantener. Por favor, hágame saber qué partes he hecho mal.

Answer 1

A $\lambda = 0$ significa que la derivada de la función objetiva con respecto a la restricción es cero. En términos más intuitivos, no se puede cambiar la utilidad esperada del consumo relajando o endureciendo la restricción presupuestaria. Este es un caso raro, sin duda, creo que se te escapa algo. ¿Quizás decirnos qué significan las variables pueda ayudar?

Answer 2

Hola: Me he dado cuenta de dos cosas.

1) Estás usando $R$ en los lugares donde creo que quieres decir $R_{s}$ .

2) Y lo que es más importante, no se necesita el enfoque del multiplicador de Lagrange porque la restricción ya está implícita, ya que se utiliza en la derivación de la función objetivo. Por lo tanto, el uso del multiplicador de Lagrange para satisfacer la restricción es innecesario.

Answer 3

No hay ningún problema con su planteamiento, el f.o.c. correcto es efectivamente

$$\partial L/\partial \Phi =E[u'(c)(R-1\cdot R_f)]-\lambda \cdot 1=0$$

Te dan una restricción lo que significa que $\omega$ y $\phi_s$ se tratan como números fijos exógenos (y de hecho no se pide que se maximice con respecto a ellos). Así pues, se tiene una cantidad total exógena de activos de riesgo que hay que distribuir entre ellos, igual a $\omega+\phi_s$ . De ello se deduce que si se relaja esta restricción, lo más probable es que su consumo y utilidad esperados cambien, ya que podrá comprar más/menos activos de riesgo, por lo que lo correcto es formar un Lagrangean. Esta restricción opera de la misma manera que lo haría una "restricción presupuestaria", sólo que lo hace a nivel de cantidades y no de valores.