Si $\succsim$ es racional, entonces $B \mapsto C^*(B, \succsim)$ satisface el axioma débil, y $\succsim=\succsim^*$

Question

Si $\succsim$ es racional, entonces $B \mapsto C^*(B, \succsim)$ satisface el axioma débil, y $\succsim=\succsim^*$

Anteriormente en el mismo teorema en realidad, demostraron lo siguiente:

Si $C$ es una regla de elección que satisface el axioma débil, entonces $\succsim^*$ es racional, y para todo $B \in \mathcal{P}(X), C(B) = C^*(B, \succsim^*).$

Nota: $C^*(B) = C^*(B, \succsim) = \{ x \in B: \forall y \in B, x \succsim y \}$ y el axioma débil se refiere al axioma débil de preferencia revelada que una regla de elección satisface si $[x \succsim^* y ] \Rightarrow \neg (\exists B)[y \succ_B x]$

Mi intento de la prueba:

Primero suponga $B \mapsto C^*(B, \succsim)$ no satisface el axioma débil, entonces $\succsim^*$ no es racional por la parte anterior del teorema, así que si podemos demostrar $\succsim = \succsim^*$ tenemos una contradicción que demostrará la afirmación.

Como $\succsim$ es racional, entonces existe una función de utilidad $u: X \to \mathbb{R}$ que representa $\succsim$ entonces $\{x \in B: \forall y \in B, u(x) \geq u(y) \} = C^*(B, \succsim)$ pero entonces $\exists B$ s.t. $x,y \in B$ y como $B \mapsto C^*(B, \succsim)$ entonces $u(x) \in C^*(B, \succsim)$ así que $x \in C(B)$ por lo que $\succsim = \succsim^*$

Answer 1

He aquí un intento de prueba directa:

Que se cumplan todos los supuestos, y además supongamos que $x \succcurlyeq^* y$ . Entonces, para algunos $B \supseteq \{x,y\}$ , $C^*(B) \supseteq \{x\}$ (por definición de $\succcurlyeq^*$ ), lo que implica además $x \succcurlyeq z$ para todos $z \in B$ y por lo tanto $x \succcurlyeq y$ (por definición de $C^*$ ). (Esto demuestra que $\succcurlyeq^* \subseteq \succcurlyeq$ la otra dirección se desprende de la observación de los conjuntos de dobletes $B = \{x,y\}$ ).

Lo que queda por demostrar es que $C^*$ satisface el axioma débil. Por lo tanto, tomemos cualquier $B' \supseteq \{x,y\}$ , de tal manera que $y \in C^*(B')$ . Si no existe tal conjunto, entonces $y$ no se revela preferible a $x$ y hemos terminado. Si tal conjunto existe, entonces por definición $y \succcurlyeq z$ para todos $z \in B'$ . Ya sabemos $x \succcurlyeq y$ así que por transatividad $x \succcurlyeq z$ para todos $z \in B'$ y por lo tanto $x \in C^*(B')$ . De nuevo, $y$ no se revela preferible a $x$ y hemos terminado.

Obsérvese que, aunque hemos utilizado la transitividad, no hemos utilizado la completitud. Esto indica que el enunciado puede generalizarse a los preórdenes (reflexivo y transitivo), permitiendo $C^*$ para que esté vacía. Este punto se pierde un poco apelando al segundo resultado.