El valor esperado de la delta-cubierta de la cartera de

Question

Considere la posibilidad de la cartera de black-scholes mundo

$\Pi = \Delta S - V$, donde $S$ es el precio de las acciones y V es el precio de la opción.

He leído que si ponemos $\Delta = \frac{\partial V}{\partial S} $ entonces obtendremos $d\Pi = (...)dt + 0 * dW$, donde $W$ es el movimiento browniano. Y de no-arbitraje tenemos $d\Pi = r \Pi dt$, donde es la tasa de interés sin riesgo, por lo que $\Pi_T = (\Delta_0S_0 - V)\exp(rT)$.

Me encontré con algunas notas de la conferencia, que afirman que si $\Pi = \Delta S - V$ es $\Delta$-cubierta, a continuación, el valor de dicha cartera es de$0$ en el momento de la expiración de la opción $T$.

Pero yo sería esperaba una cartera tiene un valor de $\Pi_T = (\Delta_0S_0 - V)\exp(rT)$, podría alguien ayudar a averiguar lo que está pasando?

Gracias

Answer 1

Se debe de hecho a crecer a la tasa libre de riesgo, como se explica en el Black Scholes papel (extracto a continuación):

Valdría la pena conocer el contexto en torno a la presentación de las notas de la conferencia.

Nota a pesar de que el delta se supone que ajustarse continuamente (cobertura dinámica), así que creo que como muy local aproximación, y habría muchos reequilibrio entre 0 y T.

PS: Black Scholes de cobertura de la cartera es diferente de cómo se presentan, normalmente, en los libros de texto como el delta es la otra manera alrededor. También se nota una cierta controversia alrededor de Black Scholes argumentos (véase, por ejemplo: la hipótesis que subyace en la fijación de precios de opciones por Bartlets, y preguntas frecuentes en la Opción de la teoría de precios por Peter Carr).

Answer 2

En el Black-Scholes, como hemos discutido en esta pregunta, la cartera de $\Pi = \Delta S -V$, donde $V= \frac{\partial V}{\partial S}= N(d_1)$, no es auto-financiación. Por otra parte, \begin{align*} \Pi = \Delta S -V=Ke^{-r(T-t)}N(d_2) \end{align*} no satisface la ecuación \begin{align*} d\Pi = r\Pi dt. \end{align*} De hecho, vamos a \begin{align*} \Delta_t^1 = \frac{\frac{\partial V}{\partial S} e^{rt}}{V_t - \frac{\partial V} {\parcial S}S},\quad \Delta_t^2 =\frac{-e^{rt}}{V_t - \frac{\partial V}{\partial S}S}. \end{align*} A continuación, se puede comprobar que la cartera \begin{align*} \Pi_t = \Delta_t^1 S + \Delta_t^2 V = e^{rt} \end{align*} es la auto-financiación, y \begin{align*} d\Pi = r\Pi dt. \end{align*}