¿Término de error/proceso de innovación en los procesos ARCH/GARCH?

Question

Me pregunto sobre la distribución del término de error/proceso de innovación en un proceso ARCH/GARCH y su implementación, no estoy seguro de algunos puntos. El supuesto básico es

$r_t=\sigma_t*\epsilon_t$

donde el $\sigma_t$ es la volatilidad, modelada por ARCH/GARCH y el $\epsilon_t$ se asumen mayoritariamente como N(0,1).

Ahora mis preguntas son:

1. Los modelos más sofisticados abandonan esta suposición. Así que puedo decir, por ejemplo $\epsilon_t$ sigue una distribución hiperbólica generalizada. Así que la media no tiene que ser cero y la varianza no tiene que ser igual a 1. ¿Esto es correcto, no?

2. Si utilizo el paquete rugarch : Admite diferentes supuestos de distribución. Pero no entiendo lo siguiente: ¿Así que también abandonan el supuesto de media cero y varianza uno? ¿O están utilizando algo así como una versión "estandarizada"?

3. Supongamos que quiero ajustar un GARCH(1,1) suponiendo que el $\epsilon_t$ siguen una distribución hiperbólica generalizada, pero la media no tiene que ser cero y la varianza no tiene que ser uno. ¿Está rugarch haciendo una estimación conjunta de los parámetros? Entonces, en mi resultado final, ¿obtengo los parámetros del proceso GARCH y los parámetros de mi distribución hiperbólica generalizada?

Mi última pregunta es: ¿cómo puedo aplicar esto?

Supongo que tengo que utilizar el siguiente comando:

ugarchspec(variance.model = list(model = "sGARCH", garchOrder = c(1, 1), 
submodel = NULL, external.regressors = NULL, variance.targeting = FALSE), 
mean.model = list(armaOrder = c(1, 1), include.mean = TRUE, archm = FALSE, 
archpow = 1, arfima = FALSE, external.regressors = NULL, archex = FALSE), 
distribution.model = "norm", start.pars = list(), fixed.pars = list(), ...)

el modelo de distribución tiene que ser ajustado a ghyp . ¿Supone esto una media de cero y una varianza de uno?

Creo que no, ¿verdad?

¿Cómo puedo utilizar la distribución hiperbólica para distribution.model?

Answer 1

El error estandarizado en un modelo GARCH tiene una varianza unitaria (necesaria para la identificación) y una media cero. Cualquiera que sea la distribución condicional, se escala y se desplaza para ajustarse a esos requisitos.

Las respuestas a sus preguntas son:

1. No.
2. No, no abandonan el supuesto de media cero y varianza uno; y Sí, están utilizando algo así como una versión "estandarizada".
3. Sí, "rugarch" está haciendo una estimación conjunta de parámetros; por lo tanto, en la salida final se obtienen los parámetros del proceso GARCH y los parámetros de la distribución hiperbólica generalizada.
4. "¿Cómo puedo implementar esto?" Puedes implementarlo utilizando la función ugarchspec tal y como has escrito.
5. "¿Esto supone una media de cero y una varianza de uno?" Sí, se supone que el error estandarizado del modelo tiene estas propiedades.
6. "¿Cómo puedo utilizar la distribución hiperbólica para distribution.model ?" No lo sé, pero vea a continuación.

Para más detalles, consulte el "viñeta" para el paquete "rugarch" en R, especialmente la sección 2.3 "Distribuciones condicionales".