¿Por qué el modelo de Markowitz de varianza-media requiere la suposición de normalidad?

Question

Dado $N$ activos, el modelo de media-varianza de Markowitz requiere retornos esperados, varianzas esperadas y una matriz de covarianza de $N \times N$. La distribución conjunta está completamente definida por estas medidas.

Sin embargo, a menudo leo que los activos deben ser distribuidos normalmente para ser considerados en el modelo de media-varianza. Aunque entiendo que una distribución conjunta normal está completamente definida por las estadísticas descritas anteriormente, no puedo ver realmente por qué se requiere la normalidad.

¿No podríamos simplemente suponer que la distribución está completamente descrita por $\mu$, $\sigma^2$ y $\Sigma, y no necesariamente implicar la normalidad? Es decir, una desventaja obvia es no considerar momentos más altos que influyen en los activos, como la asimetría y la curtosis, pero ¿por qué la normalidad es una suposición?

Answer 1

No requiere normalidad. Lo que requiere es que las decisiones del inversor estén determinadas por la media y la varianza.

Una distribución normal está determinada por la media y la varianza, así que si se asume normalidad conjunta entonces no tiene sentido que al inversor le interese cualquier otra cosa.

(intentamos discutir las suposiciones a fondo en nuestro libro, Introducción a la Teoría Matemática de Portafolios.)

Answer 2

Las técnicas de optimización de carteras, tales como las definidas bajo la Teoría Moderna de Carteras (MPT, por sus siglas en inglés), están ligeramente predichas en la suposición de normalidad conjunta. Aunque habrá un conjunto de pesos de cartera que minimiza la varianza independientemente de las distribuciones subyacentes, la correlación solo es una medida completa de asociación si la distribución multivariada conjunta es normal; es decir, la covarianza es solo una medida exhaustiva de co-movimiento si las distribuciones conjuntas son ellas mismas normales. Podemos ver que esto es cierto porque la distribución conjunta de X e Y está definida por la normalidad conjunta:

${\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\iint _{X\,Y}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left({\frac {X^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-{\frac {2\rho XY}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\right)\right]\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y$

Lo cual a través de una demostración puede demostrar que produce:

$\sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}},$

Si ahora definimos $\omega_i \sigma^2_i=\sigma_X$ y $\omega_j \sigma^2_j=\sigma_Y$, entonces obtenemos de vuelta la ecuación que se utiliza como base para la optimización de varianza media de una cartera de dos activos:

$\mathbb{E}[\sigma _{p}^{2}]=\omega_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}+\omega_{j}^{2}\sigma_{j}^{2}+2\omega_{i}\omega_{j}\sigma_{i}\sigma_{j}\rho_{ij}$

Entonces, aunque la matriz de covarianza de la cartera siempre se puede calcular, en la medida en que los activos subyacentes tengan rendimientos que no sean normales, la optimización probablemente resultará en pesos óptimos de manera espuria.

Answer 3

Si la distribución conjunta de todos los activos tiene una distribución normal multivariante, entonces la distribución de cualquier cartera construida a partir de una combinación lineal de esos activos también tiene una distribución normal. Por lo tanto, el riesgo puede medirse por su varianza (o equivalente por su distribución estándar). Supongamos que dos activos tienen el mismo rendimiento medio y que el primero tiene una varianza más pequeña que el segundo, entonces se puede demostrar que para cualquier definición razonable de riesgo, el primer activo tendrá menor riesgo que el segundo siempre y cuando ambos activos tengan distribuciones normales. Sin embargo, cuando las distribuciones no son gaussianas, la misma afirmación ya no es cierta. [fuente: Modelando en el Espíritu de la Teoría de la Cartera de Markowitz en un Mundo No Gaussiano Rajeeva L Karandikar, Director, Instituto Matemático de Chennai, India y Tapen Sinha, Profesor Titular de la Cátedra AXA de Gestión de Riesgos, ITAM, México]