Para la pregunta 1), vamos a añadir el tema de la homogeneidad positiva a la discusión: Cuando una medida de riesgo es positivamente homogénea, podemos calcular las contribuciones al riesgo.
Una medida de riesgo es positivamente homogénea de grado $\lambda$ , si $$R(cx)= c^{\lambda} R(x),\quad \text{with}\ x \in \mathbb{R}^n$$
Si entonces, $\lambda>0$ esto es equivalente a la relación de Euler (para $R$ diferenciable):
$$\lambda \cdot R(x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial R}{\partial x_i}(x) \cdot x_i.$$
Esto significa que podemos descomponer la medida de riesgo en sus contribuciones marginales de riesgo $\frac{\partial R}{\partial x_i}(x) \cdot x_i$ . Por tanto, esto debe cumplirse si queremos calcular las contribuciones al riesgo. La paridad de riesgo es entonces el caso de que todos estos valores sean iguales.
Así que uno de los supuestos ya está en la definición. Esto se cumple para el VaR y el déficit esperado en el caso de un supuesto normal. Para los modelos sin distribución, ¿quién sabe lo que significa una contribución al riesgo?
Hasta aquí todo bien, hemos definido una cartera de Paridad de Riesgo y suponemos que nuestra medida de Riesgo es homogénea.
Intentemos también responder a 2 en un solo intento: Este documento es un buen recurso para el tema. Examina el siguiente problema $(\text{RC}_i(x) = \frac{\partial R } {\partial x_i} \cdot x_i)$ :
Encuentre $x$ tal que $$ \text{RC}_i(x) = b_i R(x) \\ b_i > 0 \\ x_i > 0 \\ \sum_{i=1}^{n} b_i = 1 \\ \sum_{i=1}^{n} x_i = 1$$
Así que las líneas significan, que las contribuciones de Riesgo deben cumplir con las restricciones presupuestarias (para la Paridad de Riesgo, $b_i = 1/N$ ), los pesos son positivos y todos los pesos y presupuestos suman 1.
El problema propuesto está aquí (he hecho buenas experiencias con él):
$$ y^\ast = \text{argmin} R(y)\\ \sum_{i=1}^n b_i\text{ln}y_i \geq c \\ y \geq 0$$
para una constante arbitraria c. Ahora no se cumple la restricción del peso unitario, pero después de reescalar la solución es
$$ x^\ast = y^\ast / (\sum_{i=1}^n y_i^{\ast}).$$
Pero, ¿por qué este problema es de paridad de riesgo?
El lagrangiano es
$$ L(y;\lambda) = R(y) - \lambda \sum_{i=1}^{n} b_i \text{ln} y_i$$
y la condición de primer orden en el óptimo $\frac{\partial L}{\partial y_i} = 0$ rendimientos:
$$ \frac{\partial L}{\partial y_i} = \frac{\partial R}{\partial y_i}(y) - \frac{b_i}{y_i} = 0.$$
Pero esta es precisamente la limitación presupuestaria.
Este es un problema de optimización bastante escalable pero no es lineal por lo que hay que tener cuidado. Creo que manejará un par de variables muy bien, tal vez alrededor de 100 se pondrá un poco difícil, pero no he probado que explícitamente.
