Cómo precio fuera de la llamada mediante la resolución de la ecuación del calor como de abajo-hacia fuera-de la llamada

Question

Sabemos que por el cambio de las variables podemos obtener el Black-Scholes fórmula de vanilla call a través de la resolución de la heat equation: $$S = Be^{x},\quad t = T - \tau/\dfrac{1}{2}\sigma^2,\quad C(t,S) = Bu(\tau, x),\quad v(\tau,x)=e^{\alpha x+\beta\tau}u(\tau,x)$$ $$\dfrac{\partial v}{\partial \tau} = \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}$$ con los límites y condiciones iniciales: $$v(\tau,x)=0, x\rightarrow -\infty;$$ $$v(\tau,x)\sim (e^x-e^{-i\tau}), x\rightarrow \infty;$$ $$v(0,x) = u_0(x).$$ Y, por el down-out-call, sólo el límite de las condiciones de cambio: $$v(\tau,x)=0, x=0;$$ $$v(\tau,x)\sim (e^x-e^{-i\tau}), x\rightarrow \infty;$$ $$x\in(0,\infty)$$ entonces podemos usar la reflection property de heat equation

Vamos $$v(\tau,x) = V(\tau,x)-V(\tau,-x)$$ aquí $V(\tau,x)$ es la solución en el primer vanilla call heat equation, para extender $v(\tau,x)$ $x\in(-\infty,\infty);$

Pero, para la up-out-call, las condiciones de frontera se convierte en: $$v(\tau,x)=0, x\rightarrow-\infty;$$ $$v(\tau,x)=0,x=0;$$ $$x\in(-\infty,0)$$ Yo no se cómo utilizar $V(\tau,x)$ para la construcción de las condiciones anteriores(sin duda, incluir la condición inicial)？

Answer 1

¿Qué te parecen omitir es la condición inicial para $v(\tau, x)$? Supongamos que usted tiene una barrera opción para los cuales $v$ satisface la inicial del problema de valor de frontera

\begin{eqnarray} \mathcal{H} \{ v \} (\tau, x) & = & 0 \qquad \text{para } (\tau, x) \in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_-\\ v(0, x) & = & f(x)\\ v(\tau, 0) & = & 0 \qquad \text{para } \tau \[0, \infty). \end{eqnarray}

Aquí, $\mathcal{H}$ es la ecuación del calor operador y $f(x)$ es la rentabilidad de la específica condición inicial - en el caso de una opción call. A continuación, se definen los auxiliares problema de valor inicial $V(\tau, x)$, que satisface

\begin{eqnarray} \mathcal{H} \{ V \} (\tau, x) & = & 0 \qquad \text{para } (\tau, x) \en \left( \mathbb{R}_+, \mathbb{R} \derecho)\\ V(0, x) & = & f(x) \mathrm{1} \{ x < 0 \}. \end{eqnarray}

$V(\tau, x)$ es el correspondiente rango completo el problema en mantener la condición inicial, pero restringen el dominio activo de la opción barrera a través del indicador. Resolver por $V(\tau, x)$, por ejemplo, por una convolución de la condición inicial con el calor del núcleo.