Deje que ${(I_t)}_{t\geq 0}$ ser un estocástica de la integral definida por $$ I_t=\int_{0}^{t}\theta_sdW_t, $$ donde $W$ es un estándar de movimiento Browniano definido en $(\Omega\mathcal{F},{(\mathcal{F}_t)}_{t\geq 0},\mathbb{P})$ y $\theta$ un proceso estocástico adaptado a $\mathcal{F}_t$ satisfacer la siguiente condición de integrabilidad $$ E\left(\int_{0}^{t}\theta_s^2 ds\right)<\infty\;\;\ \forall t> 0. $$
Definimos el primer paso del tiempo en $un$ para el movimiento Browniano $W$ por la siguiente variable aleatoria $$ \tau_a = \inf\{t\geq 0,W_t\geq un\}, $$ donde $a>0$.
Es posible demostrar que $\tau_a$ es un tiempo de paro. Por otra parte, en virtud del principio de reflejo, sabemos que el siguiente proceso
\begin{ecuación*} Z_t = \begin{casos} W_t \qquad & si \qquad 0 \leq t \leq \tau_a \\ 2a-W_t \qquad & si \qquad t > \tau_a \end{casos} \end{ecuación*}
también sigue un estándar de movimiento Browniano en $\mathbb{P}$.
Mi pregunta es la siguiente : Es posible reescribir el proceso $I$ en relación con el proceso a $Z$?
Me gustaría conocer su opinión sobre este tema, gracias de antemano.
