Costes de ajuste de escala

Question

Tome una función de coste cont. dif, convexa y creciente $c(X)$ . Digamos que empiezas con una acción $K$ y quiere (des)invertir $I$ . Muchas funciones de costes de ajuste ( por ejemplo, el primer ejemplo de la página 2 aquí ) son del tipo

$$ K c\left(\frac{I}{K}\right)$$

¿Cuál es el objetivo de escalar los costes de inversión con $K$ ¿aquí? El coste marginal de la inversión es

$$ c'\left(\frac{I}{K}\right)$$

Parece que esto da la propiedad de que el coste marginal de la inversión disminuye en el stock de capital existente. ¿Se observa esto en el mundo real, o más bien simplifica los cálculos? ¿Existen formulaciones alternativas (populares) de los costes de ajuste?

Answer 1

Artículo del Nuevo Diccionario Palgrave de Economía sobre los costes de ajuste ofrece un buen resumen del uso de los costes de ajuste en los modelos económicos.

¿Cuál es el objetivo de escalar los costes de inversión con K aquí?

Esta forma de función implica que los costes de ajuste de tamaño X% del capital $I/k$ cuestan la misma fracción de capital ( $c(I/k)$ ) independientemente de la cantidad de capital ( $k$ ) que se trate. Se trata de una forma de coste de ajuste de rendimientos constantes a escala.

Parece que esto da la propiedad de que el coste marginal de la inversión disminuye en el stock de capital existente.

Creo que aquí te equivocas con el coste marginal del ajuste.

$$ \frac{\partial}{\partial K} K \cdot c\left(\frac{I}{K}\right)$$ $$ = c(\frac{I}{K}) + K \cdot c'(\frac{I}{K})$$

El primer término es decreciente en $K$ por el hecho de ser fijo $I$ pero la segunda no tiene por qué serlo.

Answer 2

Una formulación como la de tu post asegura que los costes de ajuste son homogéneos de grado 1 en $K,I$ . Si la función de producción tiene también rendimientos constantes, podemos reescalar típicamente el problema de toda la empresa por $K$ , lo cual es muy conveniente:

• la función de valor será lineal en el capital, por lo que el valor marginal y el valor medio del capital (q de Tobin) son iguales y no dependen del tamaño de la empresa.

• si hay crecimiento tecnológico, dicha formulación permite una trayectoria de crecimiento equilibrada.

• podemos dejar de lado una variable de estado, lo que siempre es bueno si el modelo debe resolverse numéricamente.

Answer 3

La función "coste de ajuste" se modela como un margen de beneficio, por lo que necesita una base para expresarse en unidades comparables.

Un enfoque de modelización frecuente es hacer que el coste total de ajuste sea una función de la inversión bruta y escribir

$${\rm Adjustment \; Cost\; of \;Investment} = I \cdot \phi(I/K)$$

El razonamiento es que los costes de ajuste son "costes de cambio", por lo que la modelización debe centrarse en ello. Por lo tanto,

a) Cuanto mayor sea el cambio en comparación con la situación actual ( $I/K$ ), cuanto más grande sea el extra unidad costo, por lo que tenemos el $\phi()$ como no decreciente en $(I/K)$ y convexo, y
b) Este coste unitario adicional se mide por "Unidad de Cambio" (Inversión).

En este enfoque encontramos que

$$\frac {\partial}{\partial I}\big[ I\cdot \phi(I/K)\big] = \phi(I/K) + (I/K)\cdot \phi'(I/K) >0$$

y

$$\frac {\partial}{\partial K}\big[ I\cdot \phi(I/K)\big] = -(I/K)^2\cdot \phi'(I/K) < 0$$

El mensaje:
a) Los costes totales de los ajustes aumentan en todas partes en el nivel de la inversión bruta
b) Pero están en todas partes disminuyendo en el nivel de Capital: cuanto más grande sea, mejor, en términos de costes de ajuste, para el mismo Cambio previsto (porque en términos relativos, el cambio es menor). Esto es intuitivo, al menos desde el punto de vista de que los cambios bruscos del tamaño de una empresa pueden tener costes secundarios muy grandes, lo que en general se verifica en la experiencia del mundo real.

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La formulación

$${\rm Adjustment \; Cost\; of \;Investment} = K\cdot c(I/K)$$

utiliza el mismo razonamiento en cuanto al coste unitario, pero postula que este coste unitario adicional es por unidad de estado actual (capital) en lugar de por unidad de cambio (inversión). Así, la función $c()$ tiene una interpretación diferente, y no es conceptualmente comparable con $\phi()$ -el segundo es "coste de ajuste unitario por unidad de Inversión" mientras que el primero "coste de ajuste unitario por unidad de Capital instalado" (por lo que si se intentara estimar empíricamente ambas funciones, no se llegaría a la misma función/parámetros).

Aquí tenemos

$$\frac {\partial}{\partial I}\big[ K\cdot c(I/K)\big] = c'(I/K) > 0 $$

que da el mismo mensaje que la formulación anterior en cuanto a los costes totales de ajuste y el nivel de inversión.

Pero $$\frac {\partial}{\partial K}\big[ K\cdot c(I/K)\big] = c(I/K) - (I/K)\cdot c'(I/K) <> 0 $$

y sería positivo (negativo) dependiendo de si el elasticidad de la función de costes de ajuste de la unidad con respecto a $(I/K)$ es inferior (superior) a la unidad.

Esto parece proporcionar un mayor grado de flexibilidad en cuanto a la modelización de situaciones del mundo real. Permite, por ejemplo, tener en cuenta los costes de "rigidez" que pueden acompañar a una empresa de "gran" tamaño, donde debido a ellos los Costes Totales de Ajuste para determinadas $I$ puede estar aumentando después de cierto nivel de Capital.

Una discusión empírica y extensa sobre diversas cuestiones relacionadas con los costes de ajuste (formas funcionales, punto de vista micro/macro, etc.) puede encontrarse en Hamermesh, D. S., y Pfann, G. A. (1996). Adjustment costs in factor demand. Journal of Economic Literature, 1264-1292.