¿Cómo podemos calcualte $E[W_sW_t|W_s]$

Question

$W_t$ es un movimiento Browniano. ¿Cómo podemos calcular esta expectativa? hay dos casos:

1. $s < t$
2. $t < s$

Tenemos que distinguir los dos casos o hay una forma unificada de calcularlo

Answer 1

Para $s<t$, entonces \begin{align*} E\big(W_sW_t \,|\, W_s\big) &= W_sE\big((W_t-W_s + W_s)\,|\,W_s\big) \\ &=W_s^2. \end{align*}

De $0 < t < s$, entonces $$E\left(W_s \Big(W_t-\frac{t}{s}W_s\Big) \derecho)= 0,$$ y, dada su conjunto normalidad, $W_s$ y $W_t-\frac{t}{s}W_s$ son independientes. Por lo tanto, \begin{align*} E\big(W_sW_t \,|\, W_s\big) &= W_sE\left(\Big(W_t-\frac{t}{s}W_s +\frac{t}{s} W_s\Big)\,|\,W_s\derecho) \\ &= \frac{t}{s} W_s^2. \end{align*}