Tipo particular de juego de mercado

Question

Esta pregunta se refiere a la teoría de los juegos y a los equilibrios del mercado, que rara vez es objeto de atención aquí en QSE, pero al mismo tiempo creo que este es un lugar más apropiado para tal pregunta en lugar de MSE.

Sólo hay un bien. Hay $N$ consumidores y $M$ productores.

• Cada consumidor $i$ puede comprar como máximo $E_i$ de bienes de diferentes productores en total. No importa la cantidad que compre, $\xi_i$ es el precio más alto que puede considerar pagar por la unidad de bien.
• Cada productor puede vender como máximo $Q_i$ del bien a diferentes consumidores en total. Ahora importa cuánto vende, $r_i>0$ es el precio más bajo al que puede considerar vender la unidad de bien.
• La cantidad de bien que el consumidor $i$ compra al productor $j$ es $L_{ij}$ el precio correspondiente se denomina $p_{ij}$ .
• Cada consumidor $i$ tiene una función de utilidad $U_i(p_{i1},\dots,p_{iM},L_{i1},\dots,L_{iM})$ que quiere maximizar.
• Cada productor $j$ tiene una función de utilidad $V_j(p_{1j},\dots,p_{Nj},L_{1j},\dots,L_{Nj})$ que quiere maximizar.

Estoy bastante seguro de que este problema es bastante clásico, y estoy buscando la formulación teórica de este problema. Hasta ahora no me pregunto sobre la existencia o la unicidad del equilibrio de Nash, sólo sobre la formulación: cuáles son las variables de decisión, etc. Algunas referencias también serían útiles. Creo que en este caso se puede hablar de una matriz de precios de equilibrio que iguala la demanda y la oferta, sin embargo no estoy seguro de cómo abordar esto formalmente.

También me interesaría una ampliación cuando todos los actores son consumidores y productores al mismo tiempo. Es decir, hay $N+M$ jugadores que tienen limitaciones $$ -E_i\leq\sum_{j=1}^{N+M}L_{ij}\leq Q_i $$ lo que significa que cada jugador puede comprar a una contraparte y vender a otra.

Answer 1

Hay varias maneras de formular este problema en términos de teoría del juego. Espero que no sea una respuesta demasiado básica para usted: por lo que escribe, los dos enfoques canónicos serían enmarcar las cosas en términos de oligopolios de Cournot (las empresas establecen simultáneamente cantidades y los precios resultan de la condición de compensación del mercado oferta=demanda) o los oligopolios de Bertrand (las empresas fijan simultáneamente precios y las cantidades resultan de la condición de compensación del mercado oferta=demanda). Puedes encontrar muchas referencias sobre estos dos modelos en google.

Al leer estas referencias, verá que sus supuestos no encajan realmente ni en el modelo de Bertrand ni en el de Cournot. Su modelo es algo más complicado (y probablemente poco especificado si quiere llegar a alguna conclusión clara). En particular, para poder plantear sus preguntas en términos de la canónico Bertrand o Cournot necesitaría

• Poder derivar una función de demanda agregada que vincule cualquier nivel de precios con una cantidad agregada que se vendería a ese precio. En particular, es necesario saber más que el precio más alto que los agentes están dispuestos a pagar. Una forma de derivar dicha función de demanda sería especificar más el perfil de la función de utilidad del consumidor (entonces se puede derivar la cantidad óptima de los consumidores para cada precio, y construir una función de demanda agregada).

• Abandonar la idea de que la empresa no es capaz de producir más de una determinada cantidad. En el canónico cada empresa debe poder producir todo lo que quiera, pudiendo cubrir toda la demanda si así lo desea.

Ahora bien, esto no significa que sea imposible acomodar su modelo actual en algo cercano a los modelos canónicos de Cournot y Bertrand. Pero ciertamente requeriría bastante trabajo. En lo que respecta a su interés por las restricciones de capacidad, por ejemplo, puede que quiera leer la parte de la sección 12.C de Mas-Collel, Whinston y Green, Teoría microeconómica que cubre este tema.

Obsérvese, por último, que en cualquier modelo que permita que diferentes empresas vendan cantidades positivas a diferentes precios, tendrá que añadir hipótesis sobre el mecanismo de racionamiento. A menos que todas las empresas acaben vendiendo al mismo precio o no vendan nada, se llegará a una situación en la que algunos consumidores pagarán, por ejemplo $p$ mientras que otros pagan $p' < p$ por el mismo bien. Podría decirse que los consumidores que pagan $p$ quiere pagar $p'$ en su lugar (suponiendo, como has hecho, que sólo hay un bien idéntico).

Entonces, o bien la situación no dura y todo el mundo acaba comprando al productor que cobra $p'$ O dura, pero algunas empresas se enfrentan a un exceso de demanda, y debe haber un mecanismo de racionamiento en su modelo que especifique a quién se le permite comprar al productor barato y a quién no. Podría suponer, por ejemplo, que algunos consumidores tienen un acceso prioritario a la producción de algunas empresas, o que el racionamiento tiene lugar a través de una lotería (o cualquier otra cosa, pero tendrá que dejar claro qué mecanismo de racionamiento elige para cerrar su modelo).