¿Cómo me precio de $P(t)=P(t,T_{n})+\sum_{i=1}^{n}[P(t,T_{i-1})-P(t,T_{i})]$?

Question

Derivar la fórmula de fijación de precios $$P(t)=P(t,T_{n})+\sum_{i=1}^{n}[P(t,T_{i-1})-P(t,T_{i})]$$ directamente, mediante la construcción de un la auto-financiación de la cartera que replica el flujo de efectivo de la tasa flotante de bonos.

$P(t,T_{i-1})$ significa Comprar, en vez de $t$, uno de $T_{i−1}$-bond. Este tendrá un costo de $P(t, T_{i−1})$
$P(t)$ significa precio en $t$ tiempo

Esta pregunta está relacionada con el Arbitraje de la Teoría en De Tiempo continuo libro de Tomas de Bjork.

Answer 1

En otra solución, la respuesta se basa en la replicación de enfoque. Aquí, ofrecemos algunos otros enfoques para la valoración de la tasa LIBOR, $$\begin{align} L(T_{i-1}; T_{i-1}, T_i) = \frac{1}{\Delta T_i}\left(\frac{1}{P(T_{i-1}, T_i)}-1\derecho), \end{align}$$ establecer un $T_{i-1}$ y paga en $T_i$, donde $\Delta T_i =T_i-T_{i-1}$.

Vamos a $E$ ser la expectativa de operador bajo el riesgo-neutral de la medida $P$, que tiene la cuenta de mercado monetario de valor de proceso $B_t$ como el numeraire. A continuación, el valor en el tiempo $t$ de la carroza de pago $L(T_{i-1}; T_{i-1}, T_i)\Delta T_i$ hechas en $T_i$ está dada por $$\begin{align*} B_t E\left(\frac{L(T_{i-1}; T_{i-1}, T_i)\Delta T_i}{B_{T_i}}\mid\mathcal{F}_t \derecho) &= B_t E\left(\frac{L(T_{i-1}; T_{i-1}, T_i)\Delta T_i}{B_{T_{i-1}}} E\left(\frac{B_{T_{i-1}}}{B_{T_i}} \mid \mathcal{F}_{T_{i-1}}\right)\mid\mathcal{F}_t \derecho)\\ &=B_t E\left(\frac{L(T_{i-1}; T_{i-1}, T_i)\Delta T_i}{B_{T_{i-1}}} P(T_{i-1}, T_i)\mid\mathcal{F}_t \derecho)\\ &=B_t E\left(\frac{1}{B_{T_{i-1}}} \Big[1 - P(T_{i-1}, T_i)\Big]\mid\mathcal{F}_t \derecho)\\ &= B_t E\left(\frac{1}{B_{T_{i-1}}}\mid\mathcal{F}_t \derecho) - B_t E\left(\frac{P(T_{i-1}, T_i)}{B_{T_{i-1}}}\mid\mathcal{F}_t \derecho)\\ &=P(t, T_{i-1}) - B_t \times \frac{P(t, T_i)}{B_t}\\ &= P(t, T_{i-1}) - P(t, T_i). \end{align*}$$

Como alternativa, deje $E_{T_i}$ se la expectativa de operador, de conformidad con $T_i$-adelante de la medida $P_{T_i}$, que tiene el bono precio de proceso de $\{P(t, T_i)\mediados de los t \geq 0\}$ como el numeraire. A continuación, la tasa LIBOR proceso $\{L(t; T_{i-1}, T_i) \mediados de 0\leq t \leq T_{i-1} \}$ es una martingala bajo $P_{T_i}$. Además, por $0 \leq t \leq T_{i-1}$, vamos $$\begin{align} \eta_t &\triangleq \frac{dP}{dP_{T_{i}}}\big|_t\\ &=\frac{B_t P(0, T_{i})}{P(t, T_i)}. \end{align}$$ Por la fórmula de Bayes, por $0 \leq t \leq T_{i-1}$, el valor en el tiempo $t$ de la carroza de pago $L(T_{i-1}; T_{i-1}, T_i)\Delta T_i$ hechas en $T_i$ está dada por $$\begin{align*} B_t E\left(\frac{L(T_{i-1}; T_{i-1}, T_i)\Delta T_i}{B_{T_i}}\mid\mathcal{F}_t \derecho) &= B_t E_{T_i}\left(\frac{\eta_{T_i}}{\eta_t}\frac{L(T_{i-1}; T_{i-1}, T_i)\Delta T_i}{B_{T_i}}\mid\mathcal{F}_t \derecho)\\ &=P(t, T_i)E_{T_i}\left(L(T_{i-1}; T_{i-1}, T_i)\Delta T_i\mid\mathcal{F}_t \derecho)\\ &=P(t, T_i)L(t; T_{i-1}, T_i) \Delta T_i\\ &=P(t, T_{i-1}) - P(t, T_i), \end{align*}$$ a partir de la martingala de la propiedad de $L$ bajo $T_i$-adelante de la medida $P_{T_i}$.