Tengo una pregunta que podría ser trivial para la mayoría de ustedes, pero de alguna manera yo no soy capaz de resolverlo por mí mismo. Tengo un desacuerdo con mi colega en la distribución de las propiedades de un Movimiento Browniano Geométrico: mi punto de vista es, que si la estimación de los parámetros de $\mu$ y $\sigma$ en el registro de devolución (y se supone que ellos son normales), el GBM en el punto $t$ ha, de hecho, un Valor esperado de $X_0\exp{((\mu+\sigma^2/2)t)}$ (propiedades de la log-normal) y no $X_0 \exp{(\mu t)}$ como se encuentran en la literatura, ya que no hay $\mu$ es el término deriva de la ecuación diferencial del precio de las acciones en proceso en sí mismo, no de su registro-devuelve. Traté de confirmar mi punto de vista a través de varias derivaciones y ejemplos numéricos. Mi colega, aunque todavía no está convencido, porque yo uso $\text{d }{\ln{\!X}}$ en Ito Lema para el registro de las devoluciones, pero argumenta que son $\ln{(X_t/X_{t-1})}$. Al parecer, mis conocimientos de ecuaciones diferenciales es demasiado limitado para encontrar el paso de la sesión-regresa a sus correspondientes SDE. En la literatura que sólo encuentran derivaciones donde se inicia con el sde de $X$. Estoy mirando adelante a sus sugerencias.
Respuestas
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Si usted considera $X_1$ una variable aleatoria que se distribuye normalmente con una media de $\mu$ y variación $\sigma^2$ ellos $S_1 = \exp(X_1)$ es registro-normalmente distribuida con una media de $\exp(\mu + \sigma^2/2)$ y variación $(\exp(\sigma^2)-1)\exp(2\mu+\sigma^2)$. Esto se deduce de las definiciones de la distribución normal y el registro de la distribución normal y la obtención de la expectativa y de la varianza a partir de estas definiciones y usted lo puede encontrar aquí.
Si se define un proceso de $X_t$ por $$ dX_t = \mu dt + \sigma dB_t, $$ entonces, el proceso expectaion $\mu t$ y variación $\sigma^2 t$, por los SDE teoría. Si se considera el proceso de $S_t = \exp(X_t)$ entonces se obtiene por el lema de Ito $$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dB_t + \sigma^2/2 dt = (\mu + \sigma^2/2) dt + \sigma dB_t. $$ y debido a consideraciones tenemos encima $E[S_t/S_0] = \exp(\mu t + \sigma^2/2 t)$ y variación $(\exp(\sigma^2 t)-1)\exp(2\mu t+\sigma^2 t)$. Por lo tanto un desfase de $\mu$ en el proceso de el registro de devoluciones le da un desfase de $\mu + \sigma^2/2$ en el proceso geométrico de los rendimientos. Ahora usted puede definir $\tilde{\mu} = \mu + \sigma^2/2$ y reescritura de los procesos con $\tilde{\mu}$ entonces usted tiene la deriva $\tilde{\mu}$ para el geométrica devuelve y $\tilde{\mu} - \sigma^2/2$ para el registro de las devoluciones.
EDIT: Después de haber escrito esto, me encontré con agradables notas de la conferencia por Karl Sigman acerca de esto en la web.
Para completar la respuesta perfecta de Richard, me gustaría añadir que pretender que el valor esperado del GBM en $t$ es $X_0\exp(\mu t)$ cantidades a reclamar que $E(exp X) = exp(EX)$, que es malo "porque la exponencial no es lineal." Este es el por qué de este $\sigma^2/2$ plazo apareciendo, a veces es conocido como el "convexidad de corrección"-la exponencial de ser convexo usted tiene $E(exp X) \ge exp(EX)$ y usted puede encontrar una más precisa declaración en la desigualdad de Jensen.
Esto podría proveer de usted con un argumento que es más fácil de comprender como una derivación matemática. En este tema se abordan en el Casco del libro clásico en derivados (12.3 El retorno esperado en la 5ª. edición).
