pregunta sobre Leif Andersen "la Tasa de Interés de Modelado, vol 2 Plazo de los Modelos de Estructura"

Question

Estoy leyendo Leif Andersen "la Tasa de Interés de Modelado, vol 2 Plazo de los Modelos de Estructura" y se encontraron con un problema en el Capítulo 14 LM Dinámica y Medidas, $\$ S 14.2.5 de Volatilidad Estocástica, Lema 14.2.6, en la página 602.

Antes de que el lema de la volatilidad estocástica LMM modelo fue definido en el punto de medida $P^B$ (numeraire es el discreto cuenta bancaria $B(t)=P(t,T_{q(t)}) \prod \límites de _{n=0} ^{q(t)-1} \left(1+\tau_nL_n(T_n)\right)$).

$$dz(t) = \theta (z_0-z(t)) dt + \eta \psi(z(t)) dZ(t), \quad z(0) = z_0 \etiqueta{14.15}$$ $$dL_n(t) = \sqrt{z(t)} \varphi(L_n(t)) \lambda_n(t)^\top \left(\sqrt{z(t)} \mu_n(t) dt + dW^B(t) \derecho) \etiqueta{14.16}$$ donde $$\mu_n(t) = \sum_{j=q(t)}^n \frac{\tau_j \varphi(L_j(t)) \lambda_j(t)}{1+\tau_j L_j(t)}$$ y Z(t) de un movimiento Browniano bajo el punto de medida $P^B$.

Ahora Lema 14.2.6 dice, el SDE para $z(t)$ medida $P^{T_{n+1}}$, $n\geq q(t) -1$ es

$$\begin{align} dz(t) &= \theta(z_0-z(t)) dt + \eta \psi(z(t)) \\ &\times \left( -\sqrt{z(t)} \mu_n(t)^\top \langle dZ(t), dW^B(t) \rangle + dZ^{n+1}(t) \derecho) \etiqueta{14.17} \end{align} $$

donde $Z^{n+1}(t)$ es un movimiento Browniano en la medida $P^{T_{n+1}}$.

La prueba en el libro es la siguiente:

A partir de los resultados anteriores, tenemos

$$dW^{n+1}(t) = \sqrt{z(t)} \mu_n(t) dt + dW^B(t)$$

Vamos a presentar los $m$-dimensional vector $$a(t) = \langle dZ(t), dW^B(t) \rangle / dt \etiqueta{1}$$

de modo que podemos escribir

$$dZ(t) = a(t)^\la parte superior dW^B(t) + \sqrt{1-\|a(t)\|^2}d\widetilde W(t) \etiqueta{2}$$

donde $\widetilde W(t)$ es un escalar movimiento Browniano independiente de $W^B(t)$. En la medida $P^{T_{n+1}}$, entonces tenemos

$$\begin{align} dZ(t) &= a(t)^\top \left(dW^{n+1}(t) - \sqrt{z(t)}\mu_n(t) dt \derecho) + \sqrt{1-\|a(t)\|^2} d\widetilde W(t) \etiqueta{3}\\ &=dZ^{n+1}(t) - a(t)^\top \sqrt{z(t)} \mu_n(t) dt \etiqueta{4} \end{align} $$ y el resultado de la siguiente manera.

Mis preguntas son:

Q1. ¿Por qué con $(1)$ uno puede escribir $(2)$? esta es una propiedad con 2 Browniano movimientos?

Q2. Después de $(3)$ I sólo se puede conseguir $$dZ(t) = a(t)^\la parte superior dW^{n+1}(t) + \sqrt{1-\|a(t)\|^2}d\widetilde W(t) - a \sqrt{z(t)}\mu_n(t) dt$$

Para obtener $(4)$, significa que uno puede definir el movimiento Browniano $Z^{n+1}(t)$ medida $P^{T_{n+1}}$ como: $$dZ^{n+1} (t) = a(t)^\la parte superior dW^{n+1}(t) + \sqrt{1-\|a(t)\|^2}d\widetilde W(t)$$

¿Cómo podríamos hacerlo? aviso $\widetilde W(t)$ es un movimiento Browniano en la medida $P^B$ pero $ W^{n+1}(t)$ es un movimiento Browniano en la medida $P^{T_{n+1}}$, no está aquí, un poco desordenado?

Answer 1

P1: $$(1)\rightarrow(2)$$

(1): $a(t)$ es la instantánea de correlación de $\rho(Z_t,W_t)$ porque:

$$\rho(dZ_t,dW_t)=\dfrac{Cov(dZ_t,dW_t)}{\sigma_{dZ_t}\sigma_{dW_t}}=\dfrac{E(dZ_t\cdot dW_t)}{\sqrt{dt} \sqrt{dt}}=\dfrac{\langle dZ_t, dW_t\rangle}{t}=a(t)$$

$\Rightarrow$ (2) tiene el siguiente, en el 1-dim caso:

• $dZ_t\sim N(0,dt),$

• $dW_t,\tilde{dW_t}\stackrel{iid}{\sim}\,N(0,dt),$

$$\Rightarrow a_tdW_t+\sqrt{1-a_t^2}d\tilde{W_t}\sim N\left(0\cdot a_t+\sqrt{1-a_t^2}\cdot 0,\,un^2dt+\sqrt{1-a_t^2}^2dt\derecho)=N(0,dt)$$

porque sabemos que la suma de los independientes normal varia es normal de nuevo con $N(\mu=\mu_1+\mu_2,\sigma^2=a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$.

Así que: $$a_tdW_t+\sqrt{1-a_t^2}d\tilde{W_t} \stackrel{d}{\sim}dZ_t$$ q.e.d.

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Por lo tanto esto tiene para la Q2 así, y usted puede conectarlo.

q.e.d.

Answer 2

Para T1, la función $(t)$ es la instantánea de la correlación. La forma dada por (2) es, básicamente, la descomposición de Cholesky. Por supuesto, usted puede mostrar directamente, utilizando Levy, caracterización, que $$ \widetilde{W}(t) = \int_0^t\bigg[\frac{1}{\sqrt{1-||(t)||^2}} dZ(t) -\frac{a(t)^T}{\sqrt{1-||(t)||^2}} dW^B(t), \bigg] $$ es un estándar de escalar el movimiento Browniano, que es independiente de $W^B(t)$.

Para la Q2, tenga en cuenta que como $\widetilde{W}(t)$ es un movimiento Browniano independiente de $W^B(t)$, es también un movimiento Browniano en virtud de la medida $P^{T_{n+1}}$ -- el Radón-Nykodim derivados $$ \frac{dQ^{T_{n+1}}}{dQ^B}|_{t} = \exp\bigg(-\int_0^t\sqrt{z(s)}\mu_n(s)dW^B_s - \frac{1}{2} \int_0^t z(s)\mu_n^2(s) ds\bigg),$$ empleadas en el Girsanov transformación, es independiente de $\widetilde{W}(t)$.