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difusión desplazada por dominancia estocástica

Supongamos que tengo dos procesos que satisfacen una difusión lognormal de desplazamiento: $$ dX(t) = \alpha(t)[X(t) - a] dW(t) $$ $$ dY(t) = \beta(t)[Y(t) - b] dW(t) $$ Obsérvese que los procesos están perfectamente correlacionados cuando $W(t)$ es un movimiento browniano estándar, $\alpha, \beta$ son funciones deterministas del tiempo, y $a,b$ son constantes mayores que cero.

¿En qué condiciones su diferencia será mayor que cero en todo momento?: $$ p X(t) - q Y(t) \geq 0 \quad p,q \in \mathcal{R}, p > q > 0 $$ Inicialmente en $t=0$ Sé que su diferencia, tal y como está escrita, es mayor que cero. ¿Existen condiciones sencillas para $\alpha,\beta,a,b$ que garanticen que la diferencia sea siempre positiva?

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Creo que $qY(y)$ ¿es un error tipográfico? probablemente debería ser $qY(t)$ ?

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@Sanjay buen punto, gracias. Lo he editado.

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¿Por qué dice que la desigualdad se mantiene en $t=0$ Dado que no tiene ninguna información para $X(0)$ y $Y(0)$ ? Tenga en cuenta que, tanto $X-a$ y $Y-b$ son lognormales, dudo que haya condiciones significativas para que esto se mantenga en general.

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Lloyd Puntos 6

Puede tener una solución explícita de $X_t$ y $Y_t$ . Poner $V_t = \ln{(X_t-a)}$ podemos encontrar fácilmente la ecuación de $V_t$ : $$dV_t = -\frac{1}{2}\alpha_t^2 dt+\alpha_tdW_t$$ Así que, $$V_t = V_0 -\frac{1}{2}\int_0^t{\alpha_s^2 ds}+\int_0^t{\alpha_sdW_s}$$ Por lo tanto, $$X_t = a + (x_0-a)\exp{(-\frac{1}{2}\int_0^t{\alpha_s^2 ds}+\int_0^t{\alpha_sdW_s})}$$

El siguiente paso es encontrar la condición que $$Z_t = pX_t -qY_t=(pa-qb) +p(x_0-a)\exp{(-\frac{1}{2}\int_0^t{\alpha_s^2 ds}+\int_0^t{\alpha_sdW_s})} -q(y_0-b)\exp{(-\frac{1}{2}\int_0^t{\beta_s^2 ds}+\int_0^t{\beta_sdW_s})} \geq 0$$

Creo que puedes resolverlo fácilmente.

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Gracias, debo estar perdiéndome algo, pero ¿cómo es su expresión para $Z_t$ ¿conduce a una solución "fácil"?

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Juste put $A =\int_0^t{\alpha_sdW_s} $ y $B =\int_0^t{\beta_sdW_s} $ . Usted tiene $(A_t,B_t)$ sigue la distribución gaussiana con $V(A) = \int_0^t{\alpha_s^2ds}$ , $V(B) = \int_0^t{\beta_s^2ds}$ y $CoV(A,B) = \int_0^t{\alpha_s\beta ds}$ Resuelve la ecuación $$\exp(A)-z_1\exp(B) \geq z_2$$

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Sí, pero eso sería una solución numérica, ¿no? Está bien, pero no es una relación algebraica "fácil". Tengo que pensar un poco en tu solución.

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