Supongamos que tengo dos procesos que satisfacen una difusión lognormal de desplazamiento: $$ dX(t) = \alpha(t)[X(t) - a] dW(t) $$ $$ dY(t) = \beta(t)[Y(t) - b] dW(t) $$ Obsérvese que los procesos están perfectamente correlacionados cuando $W(t)$ es un movimiento browniano estándar, $\alpha, \beta$ son funciones deterministas del tiempo, y $a,b$ son constantes mayores que cero.
¿En qué condiciones su diferencia será mayor que cero en todo momento?: $$ p X(t) - q Y(t) \geq 0 \quad p,q \in \mathcal{R}, p > q > 0 $$ Inicialmente en $t=0$ Sé que su diferencia, tal y como está escrita, es mayor que cero. ¿Existen condiciones sencillas para $\alpha,\beta,a,b$ que garanticen que la diferencia sea siempre positiva?
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Creo que $qY(y)$ ¿es un error tipográfico? probablemente debería ser $qY(t)$ ?
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@Sanjay buen punto, gracias. Lo he editado.
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¿Por qué dice que la desigualdad se mantiene en $t=0$ Dado que no tiene ninguna información para $X(0)$ y $Y(0)$ ? Tenga en cuenta que, tanto $X-a$ y $Y-b$ son lognormales, dudo que haya condiciones significativas para que esto se mantenga en general.
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@Gordon porque en t=0 X e Y son observables de mercado que satisfacen la condición de positividad. Básicamente estoy trabajando en un modelo para X e Y.