El tiempo cero de los precios de los dos contingentes reclamaciones

Question

Estoy seguro de cómo empezar con el siguiente problema.

Tengo dos contingentes reclamaciones donde contingente de la demanda (1) paga $\int_0^T S_u du$ y contingente de la demanda (2) paga $(\log S_T)^2$ en vez de $T$

Ahora me gustaría utilizar el modelo Black-Scholes para obtener su tiempo cero de los precios

El uso de la BS fórmula $C(S_0,K,\sigma,r,T)=S_0\Phi(d_1)-Ke^{rT}\Phi(d_2)$ con $d_1=d_2+\sigma\sqrt{T}, d_2=\frac{\log{K/S_0}-(r-\frac{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}$

donde me puedo incluir las expresiones anteriores?

Answer 1

Suponiendo que la filtración es generado por el Movimiento Browniano, usted sabe que el precio de un contingente de reclamación es sólo la expectativa bajo el riesgo de neutro medida $P$. Por tanto, para el primero

$$E_Q[\int_0^TS_udu]$$

donde $S$ ha la dinámica: $S_t=S_0e^{\sigma W^Q_t-(\frac{1}{2}\sigma^2-r)t}$, donde $W^Q_t=W_t+\frac{\mu-r}{\sigma}$ es la Girsanov chagned el Movimiento Browniano. Por lo tanto $S_t$ tiene una distribución logarítmico-normal de menos de $P$. Por lo tanto $S_t>0$, y usted puede utilizar Fubinis Teorema de intercambiar el orden de integración:

$$e^{-rT}\int_0^T S_0E_Q[S_u]du=S_0\int_0^Te^{-\frac{1}{2}\sigma^2u+\frac{1}{2}\sigma^2u+ru}du=\frac{1}{r}e^{-rT}S_0(e^{rT}-1)=\frac{1}{r}S_0(1-e^{-rT})$$

Usted puede acercarse a la segunda en la misma forma.

Answer 2

Creo que podemos calcular el precio del primer contingente de reclamación en el tiempo 0 sin utilizar cualquier de los modelos (por ejemplo, Black-Scholes). Para la primera reclamación, $$ V_0 = e^{-r T} \mathbb{E}^Q \left[ \int_0^T S_u \; du\media \vert \cal{F}_0\derecho] = e^{-r T} \int_0^T \mathbb{E}^Q \left[ S_u \media \vert \cal{F}_0\derecho] du \; . $$ Dado que el precio de un avance que madura en el tiempo $T$ es $\mathbb{E}^Q \left[ S_T \media \vert \cal{F}_0\derecho] = S_0 e^{rT}$, tengo $$ V_0 = \frac{S_0}{r} \left( 1-e^{-rT}\derecho) \; . $$ Quiero subrayar una vez más que este resultado es el modelo de libre.