¿Por qué Bloomberg de RHS de la prueba de la simple devuelve a la normalidad?

Question

En un terminal de Bloomberg, es posible utilizar la RHS (rentabilidad Histórica Histograma) de la función de los activos individuales. Básicamente genera un histograma de la (simple) devoluciones y superposiciones de ellos con un teórico de la distribución normal, que indica si la distribución de la (diaria, semanal, mensual,...) devuelve es aproximadamente una distribución normal.

Con un movimiento Browniano geométrico del modelo, debemos asumir que el registro de devolución está normalmente distribuida y la (simple) de retorno es lognormally distribuido. De ahí mi pregunta: ¿Por qué es la prueba de normalidad y no lognormality?

Answer 1

Para pequeños cambios, el registro de devolución $\ln \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}$ está cerca de la simple devolución de $\frac{S_{t_i}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}}$: \begin{align*} \ln \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}} &= \ln \Big(1+ \frac{S_{t_i}-S_{t_{i-1}}} {S_{t_{i-1}}} \Big)\\ &\approx \frac{S_{t_i}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}}. \end{align*}

Tenga en cuenta también que, suponiendo que la SDE \begin{align*} \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma\, dW_t, \end{align*} entonces \begin{align*} \frac{S_{t_i}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}} \approx \mu \Delta t_i + \sigma \Delta W_{t_i}, \end{align*} y \begin{align*} \ln \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}} = \big(\mu -\frac{1}{2}\sigma^2\big) \Delta t_i + \sigma \Delta W_{t_i}, \end{align*} donde $\Delta t_i=t_i-t_{i-1}$ y $\Delta W_{t_i} = W_{t_i}-W_{t_{i-1}}$ es normal.

Es decir, si el precio de las acciones es de registro-normalmente distribuidos, entonces, el registro de devolución es normalmente distribuida, mientras que el simple retorno es aproximadamente una distribución normal.