Diferenciales Estocásticas

Question

Vamos a $W_t$ ser un proceso de Wiener. Es claro para mí que $dW_t$ es de tamaño $\sqrt{dt}$. Esto puede ser visto por el $$ \mathrm{Var}(W_{t+\Delta} - W_{t})=\Delta. $$ Pero me permite escribir $(dW_t)^2 = dt$? Se parece un poco tonto... tienes el cuadrado de un azar de la variable en el lado izquierdo, y un determinista de la variable en el lado derecho.

Por favor, ¿puede aclarar si esto es correcto o incorrecto y tal vez dar una explicación para este peculiar identidad.

Answer 1

Me puede aclarar 100% que $(dw)^2$= $dt$ y recomendamos a aceptarlo como un hecho.

Como cualquier otro diferencial, este diferencial se define en términos de la integral: $$ \int_{t_{0}}^{t_{1}}(dW)^{2}\equiv\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n-1}[W(t_{k+1})-W(t_{k})]^{2} $$ Donde $t_{k}=t_{0}+k(t_{1}-t_{0})/$ n. Desde $$ W(t_{k+1})-W(t_{k})=\sqrt{t_{k+1}-t_{k}}\xi_{k}=\sqrt{\frac{t_{1}-t_{0}}{n}}\xi_{k} $$ Tenemos $$ \int_{t_{0}}^{t_{1}}(dW)^{2}\equiv\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{t_{1}-t_{0}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{k}^{2} $$ donde $\xi_{0}, \xi_{1},$ . . $\xi_{n-1}$ son independientes $N(0,1)$ variables. Claramente la media de la suma es $$ E[\frac{t_{1}-t_{0}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{k}^{2}]=\frac{t_{1}-t_{0}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}E[\xi_{k}^{2}]=t_{1}-t_{0} $$ Desde el $\xi$'s son independientes, la varianza de la suma es $$ Var[\frac{t_{1}-t_{0}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{k}^{2}]=\frac{(t_{1}-t_{0})^{2}}{n^{2}}\sum_{k=0}^{n-1}Var[\xi_{k}^{2}]=\frac{(t_{1}-t_{0})^{2}}{n^{2}}\sum_{k=0}^{n-1}E[(\xi_{k}^{2}-1)^{2}] $$ Para la unidad de Gauss variables, $E[(\xi_{k}^{2}-1)^{2}]=2$, por lo que la varianza de la suma de las obras a $$ Var[\frac{t_{1}-t_{0}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\xi_{k}^{2}]=\frac{2}{n}(t_{1}-t_{0})^{2} $$ Así $$ \int_{t_{0}}^{t_{1}}(dW)^{2}\equiv\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n} $$ donde la suma de $S_{n}$ tiene una media $t_{1}-t_{0}$ y variación $O(1/n)$ . Llegamos a la conclusión de que en el límite

$ n\rightarrow\infty$, esta integral es de $t_{1}-t_{0}$ con certeza. Así $$ \int_{t_{0}}^{t_{1}}(dW)^{2}=t_{1}-t_{0} $$

Para cualquier $t_0$ y $t_1$. Dado que los diferenciales se definen sólo en términos de su formación integral, podemos reescribir como

$(dw)^2 = dt$