Hay una clase de funciones de demanda que imparten el excedente de los consumidores y un monopolista?

Question

Considere un mercado con una empresa monopolista que tiene cero costo marginal y se enfrenta a la demanda de $D(p;\mathbf{a})$, donde $\mathbf{a}$ es un vector de parámetros y $p$ es el precio. El monopolista maximiza beneficios mediante la resolución de $$\max_p D(p;\mathbf{a})p,$$ así que el precio óptimo, $p^*$, satisface $$D_1(p^*;\mathbf{a})p^*+D(p^*;\mathbf{a})=0.$$

Este precio óptimo, $p^*$, los resultados en el excedente del consumidor, $$\text{CS}=\int_{p^*}^\infty\!D(p;\mathbf{a})\,dp,$$ y el excedente del productor $$\text{PS}=D(p^*,\mathbf{a})p^*.$$

Mi pregunta es: ¿hay una familia de funciones de demanda, $D(p;\mathbf{a})$ tal que $\text{CS}=\text{PS}$ siempre se mantiene en $p^*$, y si es así, ¿qué hace de la forma funcional parece?

Answer 1

Tenemos que

$$D(p^*,\mathbf{a}) = -\frac {d}{dp^*}\int_{p^*}^\infty\!D(p;\mathbf{a})\,dp,$$

$$\Rightarrow \text{PS}(p^*) = -\text{CS}'(p^*)p^* \etiqueta{1}$$

Así

$$\text{PS}(p^*)= \text{CS}(p^*) \Rightarrow -\text{CS}'(p^*)p^* = \text{CS}(p^*)$$

o

$$\text{CS}'(p^*) + \frac 1{p^*}\text{CS}(p^*)=0 \etiqueta{2}$$

que es de primer orden lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales en $p^*$ variable coefficent. Su solución es

$$\text{CS}(p^*) = B\exp\left\{-\int \frac 1{p^*}dp^*\derecho\} = B\exp\left\{-\ln p^*\derecho\}=B\frac 1{p^*},\;\; B>0 \etiqueta{3}$$

Así tenemos que la función de demanda de la OP busca debe satisfacer

$$\int_{p^*}^\infty\!D(p;\mathbf{a})\,dp = B\frac 1{p^*} \etiqueta{4}$$

Ya que se debe mantener $\forall p^*$ podemos considerar la derivada de w.r.t $p^*$ en ambos lados, para obtener

$$D(p^*;\mathbf{a}) = B\frac 1{[p^*]^2} \etiqueta{5}$$

Pero ya que, de nuevo, se debe mantener $\forall p^*$, se tiene $\forall p$. Así

$$\text{PS} = \text{CS} \Rightarrow D(p;\mathbf{a}) = B\frac 1{p^2} \etiqueta{6}$$ Verificación de $(6)$ es sencillo.