Noción de cartera sin riesgo en la derivación de Black-Scholes

Question

EDIT: Como ha señalado Gordon en los comentarios, la cartera que consideré en mi post original no se autofinancia ni está (localmente) exenta de riesgo. Aunque la cuestión central sigue abierta. Supongamos que tenemos una cartera $P_t$ Satisfaciendo a $$dP_t=a(W_t,t)dt+b(W_t,t)dW_t.$$ Entonces, aparentemente, la cartera se llama (localmente) libre de riesgo si $b(W_t,t)$ desaparece. Mi pregunta es por qué esta definición tiene sentido. Después de todo, el coeficiente $a(W_t,t)$ puede depender del proceso de Wiener y, por lo tanto, de la trayectoria que se nos dé.

Este fue el post original: Estoy tratando de entender la derivación de la ecuación de Black-Scholes para una opción por consideraciones de arbitraje, y me siento desconcertado por la noción de una cartera libre de riesgo.

Como es habitual, dejemos que el precio de la acción subyacente venga dado por el proceso Ito $$dS_t=\mu S_t dt+\sigma S_t dW_t,$$ y que $V$ denotan el precio de la opción. A continuación, consideramos la cartera $$P_t=V_t+\Delta S_t.$$ Si suponemos que esta cartera se autofinancia satisface $$dP_t=\left(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt+\left(\frac{\partial V}{\partial S}+\Delta\right)dS.$$ Entonces se afirma que la elección $\Delta=-\frac{\partial V}{\partial S}$ hace que la cartera esté libre de riesgo porque el $dS$ desaparece. Por lo tanto, debe crecer a la tasa libre de riesgo $$dP_t=rP_tdt.~(1)$$

Tengo algún problema para entender por qué se considera que esa cartera está libre de riesgo. Después de todo en la ecuación integral equivalente $$P_t-P_0=\int_0^t a(W_s,s)ds,$$ donde $a$ es el primer paréntesis, seguimos integrando sobre las trayectorias del proceso de Wiener (o alguna función del mismo). Así que todavía depende de la trayectoria que se nos da.

Se me ocurrió la siguiente idea (heurística): como las trayectorias del proceso de Wiener son continuas (casi seguramente), en un intervalo muy pequeño $[t_0-\epsilon,t_0+\epsilon]$ el término $a$ está acotado $$a_0-k\leq a(W_t(\omega),t)\leq a_0+k.$$ Por monotonía de la integral el crecimiento de $P_t$ es, por tanto, aproximadamente lineal en $t$ con una tasa entre $a_0-k$ y $a_0+k$ (donde $k$ puede ser arbitrariamente pequeño). Por lo tanto, en esta pequeña escala de tiempo la cartera debería estar aproximadamente libre de riesgo, y tomando el límite debería dar la ecuación $(1)$ . Tal argumento no parece funcionar para un potencial $dS$ porque la integración con respecto al proceso de Wiener carece de monotonía.

Answer 1

En cuanto a las emisiones autofinanciadas y sin riesgo local de la cartera $P_t= V_t +\Delta S_t$ , ver esta pregunta y también las discusiones en la página 100 del libro Métodos matemáticos para los mercados financieros por Jeanblanc, Yor, y Chesney.

Obsérvese que una cartera libre de riesgo a nivel local significa que gana el tipo libre de riesgo $r$ en el intervalo infinitesimal $[t, t+dt]$ (véase la parte inferior de la página 99 de el libro anterior ). Es decir, \begin{align*} dP_t = rP_t dt. \end{align*} En otras palabras, \begin{align*} a(W_{t}, t) dt + b(W_{t}, t)dW_t = rP_t dt. \end{align*} En consecuencia, $b(W_{t}, t)=0$ y \begin{align*} a(W_{t}, t) = rP_t. \end{align*}