¿Es posible obtener una curva de demanda a partir de un modelo multinomial de elección discreta? Por ejemplo, un modelo logit daría la probabilidad de comprar cada bien. Pero, ¿puedo traducirlo en una curva de demanda?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No podemos obtener la "demanda" en el sentido habitual, porque la demanda es una variable aleatoria. Lo "mejor" que podemos hacer es, primero, obtener la Expectativa Condicional de la demanda individual (condicionada a las variables que determinan la probabilidad de que el consumidor demande/compre).
Supongamos una situación en la que los consumidores deciden comprar o no comprar un único artículo (para simplificar) de un bien $A$ . Podemos modelar este marco de utilidad subyacente mediante
$$u_i(A) = \alpha p_i+\mathbf x_i'\beta +e_i$$
con $i$ que denota al consumidor, $p_i$ es el precio del bien, al que se enfrenta el consumidor $i$ , $\mathbf x_i$ que contiene otras variables pertinentes al caso, y $e_i$ que representa un choque de preferencia "aleatorio", que se supone que sigue la distribución logística estándar, condicionada a la $x$ 's. El consumidor demandará/comprará, $q^d_i=1$ si (por convención) $u_i(A)>0$ por lo que podemos modelar la probabilidad condicional de compra mediante
$$E(q_i^d =1\mid p, \mathbf x_i) = \Lambda(\alpha p_i+\mathbf x_i'\beta)$$
Entonces la expectativa condicional de la demanda del mercado es
$$Q_d = \sum_{i=1}^nq^d_i = \sum_{i=1}^n\Lambda(\alpha p_i+\mathbf x_i'\beta)$$
Esto sigue siendo una variable aleatoria, y con parámetros desconocidos. Para obtener algo unidimensional, dada una muestra de tamaño $n$ en $\mathbf x_i$ y en las transacciones pertinentes (y así sucesivamente $p_i$ ), se puede estimar $\hat \alpha, \; \hat \beta $ por ejemplo, por máxima verosimilitud. Entonces podemos obtener algún concepto de "curva de demanda media del mercado" utilizando las medias muestrales del $x$ 's como
$$\hat Q_d(p\,; \mathbf {\bar x}) = \sum_{i=1}^n\Lambda(\hat \alpha p+ \mathbf {\bar x'}\hat \beta) = n\cdot \Lambda(\hat \alpha p+ \mathbf {\bar x'}\hat \beta)$$
donde aquí el precio $p$ ya no está indexado, y lo variamos para obtener una curva.
Como ejemplo numérico de juguete, supongamos que hay $100$ consumidores, que ${\bar x'}\hat \beta =1$ y $\hat \alpha = -2$ . Entonces $\hat Q_d(p\,; \mathbf {\bar x_i})$ se verá como
LOGIT MULTINOMIAL
En un logit multinomial en el que se examina la elección de comprar "este o este o esto" (opciones mutuamente excluyentes $k=1,..,K$ ), obtenemos (tras la normalización habitual)
$$\hat E(q^d_{ik} \mid p_{ik}, \mathbf x_{ik}) = \frac {\exp\{\hat \alpha p_{ik} + \mathbf x'_{ik}\hat \beta\}}{1+\sum_{k=2}^K\exp\{\hat \alpha p_{ik} + \mathbf x'_{ik}\hat \beta\}}$$
Entonces podemos obtener $K$ demandas (cada una condicionada al resto) utilizando (digamos, para bien $1$ )
$$\hat Q^{(1)}_d(p_1) = \frac {n\cdot \exp\{\hat \alpha p_1 + \mathbf {\bar x}_{1}'\hat \beta\}}{1 + \sum_{k=2}^{K}\exp\{\hat \alpha \bar p_{k} + \mathbf {\bar x}_k'\hat \beta\}} $$
Hay que tener en cuenta que aquí hay que promediar también los precios de los otros bienes.
