Modelización de los rendimientos en la medida del mundo real con o sin deriva

Question

Lo que me gustaría discutir es lo siguiente. No creo que se trate de un duplicado puro, por lo que me alegrarían los comentarios:

Por un lado, es razonable modelar los rendimientos logarítmicos como gaussianos: $$ \log(S_{t+\Delta}/{S_t}) = \sigma B_{\Delta t} \tag{1} $$ con una variable aleatoria gaussiana $B_{\Delta t} \sim N(0,\Delta t)$ .

Por otro lado, como por ejemplo en los cálculos de la volatilidad gaussiana equivalente para PRIIPS modelamos $$ S_{t+\Delta} = S_t \exp \left( - \sigma^2/2 \Delta + \sigma \left( B_{t+ \Delta t} - B_{t } \right) \right), $$ y por lo tanto $$ \log(S_{t+\Delta}/{S_t}) = - \sigma^2/2 \Delta + \sigma \left( B_{t+ \Delta t} - B_{t } \right), \tag{2} $$ que conduce a una gaussiana no centrada.

Sé que $(2)$ es el modelo natural si queremos utilizar la SDE $$ dS_t = \sigma S_t dB_t, $$ cuya versión discretizada es $$ S_{t+ \Delta t} - S_{t } \approx \sigma S_t \left( B_{t+ \Delta t} - B_{t } \right), $$ que se puede reformular como $$ \frac{S_{t+ \Delta t} - S_{t }}{S_t} \approx \sigma \left( B_{t+ \Delta t} - B_{t } \right). $$

¿Cómo encaja todo esto? En la gestión de riesgos solemos suponer que los rendimientos logarítmicos son gaussianos $(1)$ y el regulador de PRIIPS asume que los rendimientos aritméticos son aproximadamente gaussianos? ¿Cómo podemos interpretar intuitivamente el término de corrección en $(2)$ ?

EDIT: Espero haber hecho los cálculos correctos:

En la configuración (A) que nos da la ecuación (1) tenemos el siguiente modelo estocástico: $$ S_{t + \Delta t} = S_t \exp \left( \sigma (B_{t + \Delta t} - B_t) \right) $$ entonces para el retorno del registro $R_t$ tenemos $$ R_t = \log\left(S_{t + \Delta t}/S_t \right) = \sigma (B_{t + \Delta t} - B_t). $$ Entonces $R_t$ tiene una distribución gaussiana con expectativa $0$ y la varianza $\sigma^2 \Delta t$ .

Ajuste (B): $$ S_{t + \Delta} = S_t \exp \left( -\frac{\sigma^2}{2} \Delta t + \sigma (B_{t + \Delta t} - B_t) \right) $$ y obtener para $\log(S_{t + \Delta}/S_t)$ de nuevo algo gaussiano con expectativa $-\frac{\sigma^2}{2} \Delta t$ y la varianza $\sigma^2 \Delta t$ .

Para $\Delta t$ pequeños (uno o sólo un par de días) la diferencia es insignificante, pero para plazos más largos (por ejemplo, los períodos de retención recomendados) tenemos que modelar muchos $\Delta t$ pasos que conducen a un término mayor allí. Así que hay una diferencia a largo plazo.

Answer 1

Después de editar mi pregunta varias veces, me decidí a escribir una respuesta.

En la configuración (B) tenemos el término de corrección de Ito. Como menciona Gordon, esto hace que el valor esperado desaparezca.

En la configuración (A) introducimos una deriva positiva del tamaño $\sigma^2 \Delta t/2$ incluso si nos quedamos en un tiempo discreto. Está ahí.

El siguiente código ilustra esto en R. La configuración mu=0 corresponde a (A) y mu = -sigma^2/2 a (B). En A después de 10 años y utilizando 1000 trayectorias tenemos una media de 12% de ganancia que es lo que podemos esperar si tenemos la deriva de $0.15^2/2$ ( $15\%$ vol en el ejemplo siguiente) durante 10 años, lo que equivale a $11.25 \%$ (!)

En B tenemos un -3% que creo que es sólo un error de muestreo y debería ser cero. En una segunda corrida obtuve el crecimiento esperado de 0.

Ambos procesos alcanzan máximos similares y no explotan.

Conclusión: a largo plazo, si no se tiene en cuenta la corrección de la deriva, se sobrestimará el rendimiento... lo cual es un punto básico en el análisis estocástico.

S_0 = 100
nr_paths = 1000
delta_t = 1/250 # nr steps per year
nr_years = 10
sigma = 0.15

mu = 0 
#mu = -sigma^2/2

paths = matrix(S_0, nrow = nr_paths, ncol = nr_years/delta_t)
dBt = matrix(rnorm(nr_paths*(nr_years/delta_t-1), mean = 0, sd = 1), nrow = nr_paths, ncol = nr_years/delta_t-1)

for (i in 2: (nr_years/delta_t)) {
  paths[,i] = paths[,i-1]*exp(mu*delta_t + sigma*sqrt(delta_t)*dBt[,i-1]) 
}
plot( paths[1,], type="n", ylim = range(paths), main = paste("Drift =", toString(mu))) 

for(i in 1:nr_paths) {
  lines( paths[i,], col = rgb(0,0,1,0.05) )
}

lines( apply(paths, 2, mean), col ="red")
tail(apply(paths, 2, mean))

EDIT: una idea más:

El ajuste (A) (sin corrección de la deriva) conduce a $$ E[\log(S_t/S_u)|\mathcal{F_u}] = 0 $$ por lo que la expectativa de la rentabilidad logarítmica (condicional) es 0, mientras que La fijación de la corrección de la deriva (B) como en PRIIPS conduce a $$ E[\frac{S_t-S_u}{S_u}|\mathcal{F_u}] = 0 $$ por lo que la expectativa de la rentabilidad aritmética (condicional) es cero. En este contexto, el precio $S_t$ es una martingala.