Transformación monótona de un juego

Question

¿Qué sucede con los equilibrios de Nash y los valores minimax de un juego estratégico, cuando tomamos su tabla de pagos y modificamos todos los pagos elevándolos al cubo?

Mi conjetura es que depende:

• Si, en el juego original, todos los equilibrios de Nash y puntos minimax se alcanzan utilizando solo estrategias puras, entonces una transformación monótona positiva no debería afectarlos. Cuando todo es puro (determinístico), la función de utilidad es ordinal y es resistente a la transformación monótona.
• Pero si, en el juego original, algunos equilibrios de Nash / puntos minimax se alcanzan utilizando estrategias mixtas, entonces una transformación no lineal podría cambiarlos sustancialmente.

Por ejemplo, en el siguiente juego de suma cero:

4 0
0 4
3 3 

El valor de maximin es 3 y una estrategia maximin para el jugador de la fila es seleccionar la fila inferior (el jugador de la columna puede garantizar como máximo 3 mezclando las dos columnas con igual probabilidad).

Pero si elevamos al cubo:

64 00
00 64
27 27 

Ahora el valor de minimax es 32, y una estrategia maximin para el jugador de la fila es mezclar las dos filas superiores.

Entonces mi pregunta es: ¿En qué condiciones una transformación monótona positiva en los pagos de un juego no cambia sus estrategias de maximin y equilibrio de Nash?

Answer 1

Interpreto la pregunta de la siguiente manera: Supongamos que tenemos un juego en forma normal finito (con un número finito de jugadores y un conjunto finito de acciones para cada resultado). Para simplificar, supongamos un orden estricto de pagos para cada jugador. Es decir, la matriz de pagos de cada jugador no contiene elementos idénticos.

Además, es necesario aclarar qué se entiende por una transformación monótona positiva de los pagos. La primera opción es transformar todos los pagos por la misma función creciente. La segunda opción es aplicar transformaciones monótonas positivas a los pagos de cada jugador por separado. Interpreté la pregunta como refiriéndose a esta última, pero los resultados también deberían aplicarse a lo primero.

Queremos caracterizar todos los equilibrios de Nash de tal manera que en cualquier juego resultante de una transformación monótona arbitraria de los pagos, las mismas estrategias también sean un equilibrio de Nash. Llamamos "robusto a las transformaciones monótonas" a cualquier equilibrio de Nash que cumpla esta propiedad.

Con tu conjetura, prácticamente has respondido la pregunta. El conjunto de equilibrios de Nash robustos a las transformaciones monótonas es el conjunto de equilibrios de Nash de estrategia pura. Aquí hay un breve esbozo de por qué es así:

Supongamos que el jugador i juega una estrategia mixta. En este caso, el jugador debe ser indiferente entre todas las estrategias puras en el soporte de la estrategia mixta. Esta indiferencia se da por una ecuación que es una combinación lineal de pagos. Dado que ninguno de estos pagos es igual, podemos cambiar cualquier pago en una pequeña cantidad para romper la indiferencia. Por lo tanto, las equilibrios de estrategia mixta no son robustos a las transformaciones monótonas.

Todavía tenemos que demostrar que todos los equilibrios de estrategia pura son robustos a las transformaciones monótonas. Un equilibrio de estrategia pura se da si todos los jugadores juegan sus mejores respuestas a las estrategias de los demás jugadores. Esto implica maximizar sobre un conjunto finito de acciones. Dadas las acciones de los otros jugadores, las acciones del jugador i están en correspondencia uno a uno con un conjunto de pagos. Dado que la transformación monótona de los pagos no cambia su orden relativo, el conjunto de mejores respuestas no cambia. Dado que esto se cumple para cada jugador, el equilibrio de Nash de estrategia pura es robusto a las transformaciones monótonas.