Black-Scholes Opción Put Americana

Question

Aquí está mi pregunta: Esta es una pregunta sobre el modelo Black-Scholes, pero puede ser aplicable a más modelos complicados. A lo largo de la discusión, el precio de ejercicio de $K$, la tasa de interés $r$ y la volatilidad de los $\sigma$ se supone que para ser constante. Lo que nos interesa es el tiempo de decaimiento de la opción.

Primero considere un perpetuo de América poner problema. Esto tiene un óptimo ejercicio de nivel que voy a llamar a $b$ y esto está dado por $b=\frac{K}{1+\sigma^2/2r}$

Ahora considere la posibilidad de cualquier $x>b$ este $x$ es un nivel, por lo que no sería óptimo para el ejercicio en un perpetuo opción. En este caso, no necesariamente esto significa, existe una $T$ tal que $t\in (0,T)$, la ecuación de abajo tiene

$\mathbb{E}_x e^{-r(t\hat{}\tau_b)}(K-X_{t\hat{}\tau_b})^+ > (K-x)^+$

aquí $\tau_b$ denota el primero golpeando tiempo de nivel de $b$.

Creo que me han demostrado que este es el caso de algunos $t$. Aquí está mi prueba:

Denotar $V(x)=\mathbb{E}_x e^{-i\tau_b}(K-X_{\tau_b})^+$. Es ampliamente conocido que $V(x)>(K-x)^+$. Asumir la afirmación anterior es falsa, entonces

$\mathbb{E}_x e^{-r(t\hat{}\tau_b)}(K-X_{t\hat{}\tau_b})^+ \leq (K-x)^+$ para todo $t>0$.

Entonces podemos tomar el límite de $t\uparrow\infty$ en el lado izquierdo y aplicar el teorema de convergencia dominada, vemos que

$V(x)\leq (K-x)^+$

Contradiciendo la desigualdad $V(x)>(K-x)^+$

Sin embargo, he luchado para mostrar $\mathbb{E}_x e^{-r(t\hat{}\tau_b)}(K-X_{t\hat{}\tau_b})^+ > (K-x)^+$ para el pequeño valor de $t$. Creo que esta conjetura es verdadera para todos los $t>0$, pero tuvo problemas para demostrarlo. Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

He tenido algún pensamiento acerca de esto. Esta afirmación es falsa. La razón es la siguiente.

Considere la posibilidad de un horizonte finito problema con el tiempo a la madurez $t$, entonces existe una parada óptima límite de $B(t)$, de tal manera que si el precio de las acciones es en este nivel, debemos ejercer la opción. Aviso, esta $B(t)>b$ e es una función creciente de $t$.

Si empezamos nuestro proceso, a $B(t)$ con la cantidad de tiempo $t$ a la izquierda para ejecutar, a continuación, desde que empezamos en la parada óptima límite para $(K-x)^+ > \mathbb{E}_{B(t)} (K-X\tau)^+$ para cualquier tiempo de parada de $\tau<t$.

De hecho, el resultado me ha pedido es totalmente ridículo, porque como $t$ va $0$, $B(t) \uparrow K$. Para los pequeños de veces, es mucho mejor para estar donde estás que dejar que el proceso se ejecuta.