Resolver la EDP de Black scholes sin utilizar ninguna transformación

Question

Sé que uno de los métodos para resolver la EDP de black scholes dada por : $\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\sigma^2 S^2}{2}\frac{\partial^2V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} -rV = 0$

es transformarla en la ecuación del calor y luego utilizar el esquema FTCS explícito de Euler.

Me preguntaba si se podría utilizar directamente el esquema de euler explícito en la EDP de Black scholes sin utilizar ninguna transofrmación, sólo sustituir las aproximaciones de las derivadas.

En ese caso me di cuenta de que no tengo ninguna condición inicial $V(S,0)$ para empezar a resolver. Y una de las condiciones de contorno funciona para $S \rightarrow \infty$ ¿funcionará si lo restrinjo? $S=S_{max}$ .

¿Es posible resolver la EDP de Black scholes de esta manera, si lo es cual es la condición inicial y la condición de contorno que debo tomar .

Answer 1

Sí se puede hacer. Sin embargo, hay que tener en cuenta que un esquema FD explícito e ingenuo es no es incondicionalmente estable (ver condición de estabilidad del CFL).

En cuanto a su cuestión de las condiciones iniciales/limítrofes:

[Dominio del tiempo]

Utilice condición terminal $V(S,T)=h(T)$ donde $h(T)$ calcula el pago del crédito derivado objetivo al vencimiento $T$ (por ejemplo $h(T)=(S-K)^+$ para una opción de compra europea emitida a $K$ que vence en $T$ ). Esto es simplemente una expresión de la ausencia de oportunidades de arbitraje. Obsérvese que esta condición puede convertirse en una condición inicial si se cambian las variables, es decir, se sustituye la variable $t$ (hora actual) por $\tau = T-t$ (tiempo restante hasta la expiración).

[Dominio del espacio]

O bien utilizar las condiciones de Dirichlet dependientes de la demanda. Por ejemplo, para una convocatoria europea, $\forall t \in [0,T] $

$$V(S=0,t)=0$$ $$\lim_{S \rightarrow \infty} V(S,t) = P(t,T) (F(t,T)-K)$$

O utilizar condiciones de contorno más generales sobre las derivadas del precio de la opción, típicamente como no Gamma cuando es suficientemente OTM, $\forall t \in [0,T] $

$$ \lim_{S\rightarrow 0}\frac {\partial^2 V}{\partial S^2} (S,t) = 0$$ $$ \lim_{S\rightarrow \infty}\frac {\partial^2 V}{\partial S^2} (S,t) = 0$$

Porque truncará el dominio del precio al contado a $[S_{min},S_{max}]$ con $0 < S_{min} < S_{max} < \infty$ obviamente hay que tener cuidado aquí: aplicar una condición de contorno como $V(S_{min},t)=0$ sólo será una buena aproximación a la verdadera condición límite $V(S=0,t)=0$ si $S_{min}$ es lo suficientemente pequeño.