Esto no es del todo cierto, en ninguna de las dos direcciones.
Si tiene una superficie de vol implícita libre de arbitraje, es posible que no tenga una superficie de vol local bien definida. Un ejemplo proviene de un modelo discreto. Considere una dinámica de contado en la que el contado es una martingala que salta hacia arriba o hacia abajo en cantidades enteras. La distribución del spot es discreta, con densidad cero entre los niveles enteros. La ecuación de Dupire dará como resultado la división por cero al intentar calcular el vol local correspondiente. Es decir, no hay ningún modelo de vol local que dé exactamente los mismos precios. Los modelos de vol local se acercan arbitrariamente, pero la difusión límite es una "difusión de brecha", lo que se obtiene cuando se deja que el vol local sea infinito.
En la otra dirección, hay funciones de volatilidad locales que dan una dinámica local estricta de martingala puntual. Por ejemplo, dejemos que la volatilidad local sea $\sigma (S)=S $ Así que $dS=S^2 dW $ . De acuerdo con las teorías habituales de fijación de precios de arbitraje, este modelo tiene arbitraje. Por ejemplo, existe una estrategia de cobertura delta para replicar $S $ en el momento $T $ por menos coste que $S (0) $ . Estos modelos de vol local sólo son libres de arbitraje bajo un numeraire diferente. Por ejemplo, tomando una cesta de un dólar y una acción como numerario, el modelo de vol local permite que el precio del dólar pierda valor con respecto a la cesta, pero el arbitraje ya no existe.
Desgraciadamente no conozco una forma de arreglar la declaración para limpiar bien los casos límite. Tal y como está escrita es "mayormente verdadera" o "moralmente verdadera", pero no es matemáticamente verdadera.
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Me imagino que cualquier derivación de la fórmula de Dupire debería ser suficiente: la fórmula de Dupire no tiene sentido ante el arbitraje.
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De acuerdo. Y esto se traduce en la fórmula de la volatilidad local de Dupire: la varianza local no puede ser negativa (de lo contrario, la vol local sería compleja), lo cual es cierto si tanto el numerador como el denominador son positivos. La positividad del numerador equivale a la ausencia de arbitraje de calendario (la varianza total debe ser constante en el eje de dinero a plazo). La positividad del denominador es equivalente a la ausencia de arbitraje de mariposa.
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