Lo siguiente es tomado de Baye, Shin (1999)
Considere la posibilidad de un concurso de más de un premio valorado en 1 con simétrica jugadores $1$ y 2 $de$ que ejercen un nivel de esfuerzo $x_1$ y $x_2$ respectivamente. El esfuerzo no puede exceder de $2/3$. Ganancia ($\pi$) de el jugador 1 es
$$\pi_1=\frac{x_1-\frac{x_1x_2}{2}}{x_1+x_2-x_1x_2}-x_1$$
La simultánea-mover el equilibrio es (denotado con superíndice $*$)
$$x_1^*=x_2^*=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
El beneficio para cada uno de ellos
$$\pi_1^*(x_1^*,x_2^*)=\pi_2^*(x_1^*,x_2^*)=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$
Y tenemos que la mejor respuesta del jugador $2$
$$R_2(x_1)=\frac{2x_1-\sqrt{(-2x_1^2+4x_1)}}{2(x_1-1)}$$
Sin embargo, supongamos que el jugador $1$ 'movimientos' antes de que el jugador $2$. Entonces, el jugador $1$ se desviaría (hacia arriba) de $x_1^*$, presumiblemente, porque el jugador $2$ reduciría su nivel de esfuerzo, y que iba a recibir más de un premio. ¿Cómo hace uno para mostrar esto?
En el artículo, Baye y Shin consideran que el nuevo equilibrio de Stackelberg $\pi_1^s$ donde se muestra que $\pi_1^s(x_1^*+\epsilon)>0$ para algunos $\epsilon>0$. Específicamente
$$\pi_1^s(x_1^*+\epsilon)-\pi_1^*(x_1^*+x_2^*)=\frac{\sqrt{1+2\epsilon\sqrt{2}-2\epsilon^2}-1-\epsilon\sqrt{2}+2\epsilon^2}{\sqrt{2}-2\epsilon}>0$$
He tratado de replicar su resultado por ver cómo $x_2$ cambios con $x_1+\epsilon$ y la sustitución de $x_1+\epsilon$ y el nuevo valor de $x_2^s$ a $1$'s de la función de beneficios, pero no puedo llegar a su resultado.
