La media y la varianza de Ornstein–Uhlenbeck (OU) es un proceso que tiene dependencia del tiempo (de forma exponencial de decaimiento en el tiempo). Así que no son constantes en el tiempo. ¿Cómo puede ser estacionaria?
Respuestas
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Robert Groves
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Creo que no entendieron bien la definición. Ser estacionaria no significa que no dependen del tiempo, como se puede comprobar aquí. (Lo siento por poner un enlace de wikipedia aquí como supongo que usted puede haber leído)
Otra forma de pensar es que la ley, cualquier incremento del proceso está dada por una misma función de la diferencia de tiempo. Más precisamente, $\forall ~t_2\geq t_1,$ :
$$\mathcal L \left\{X_{t_2}-X_{t_1}\right\}= \Gamma(t_2-t_1)$$
En particular, en el caso de un estacionarios Gaussianos proceso cuya ley, como saben, está bien determinada por su media y varianza, la condición anterior puede ser expresada por
$$\mathbb E \left[X_{t_2}-X_{t_1}\derecho]= m(t_2-t_1)$$
$$\text{Var} \left[X_{t_2}-X_{t_1}\derecho]= v(t_2-t_1)$$
que es el caso de OU.
simonp
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No estoy seguro de su propia Pablo claro. Por su definición, un Movimiento Browniano es estacionaria. De hecho, para un proceso estocástico, la estacionariedad se define como estadísticamente invariantes bajo traslaciones.
Tratan de calcular esto para el Movimiento Browniano y OU Proceso:
$\forall Un \in \mathbb{R}^N$
$Pr\{X_1, ..., X_n \in A\} = Pr\{X_{1+h}, ..., X_{n+h} \in A\}$
Si esos son iguales, entonces el proceso es estacionario.
