¿Dónde puedo encontrar una explicación clara (breve derivación) de N(d1) y N(d2)?

Question

¿Dónde puedo encontrar una buena explicación (quizás con una breve derivación) de N(d1) y N(d2) de Black-Scholes? Sólo trato de entender la idea general sobre estas 2 funciones de probabilidad y cómo funcionan...

(Pensando que probablemente funcionan tratando de predecir la probabilidad de la parte del coste o del beneficio de la ecuación BS estimando la probabilidad de estar en un punto concreto de una distribución normal, pero no sé cómo se está consiguiendo)

Answer 1

Hay varias interpretaciones para $\Phi(d_1)$ y $\Phi(d_2)$ . Como usted sabe, \begin {align*} C(t,S_t)=S_te^{-q(T-t)} \Phi (d_1) -Ke^{-r(T-t)} \Phi (d_2). \end {align*}

Probabilidades de ejercicio

Podemos demostrar que \begin {align*} \mathbb {Q}_S[\ {S_T \geq K\}]&=e^{-q(T-t)} \Phi (d_1), \\ \mathbb {Q}[\ {S_T} \geq K\}] &=e^{-r(T-t)} \Phi (d_2). \end {align*} Así, $\Phi(d_i)$ pueden considerarse como probabilidades de que la opción esté en el dinero al vencimiento $T$ . Aquí, $\mathbb{Q}$ es la medida martingala equivalente utilizando una cuenta bancaria sin riesgo como numerario y $\mathbb{Q}_S$ utiliza la acción como numerario. Como se cubre la opción de compra con la negociación en la acción y un bono, es intuitivo tener estas probabilidades de ejercicio aquí.

Estadísticas de cobertura

Alternativamente, \begin {align*} \Delta = \frac { \partial C(t,S_t)}{ \partial S_t} =e^{-q(T-t)} \Phi (d_1), \\ \kappa = \frac { \partial C(t,S_t)}{ \partial K} =e^{-r(T-t)} \Phi (d_2). \end {align*} Si recuerda la idea de una dinámica $\Delta$ de cobertura, esta interpretación de $\Phi(d_1)$ le indica la cantidad que debe invertir en la acción para cubrir la opción de compra. En este sentido, $\kappa$ te dice el costo de tal cobertura.

Precio de las opciones binarias (digitales)

Puedes ver $\Phi(d_1)$ y $\Phi(d_2)$ también como precios de opciones binarias

• $S_te^{-q(T-t)}\Phi(d_1)$ se refiere al precio de una opción de compra de tipo europeo "activo o nada",
• $e^{-r(T-t)}\Phi(d_2)$ al precio de una opción de compra de tipo europeo "cash-or-nothing".

Derivación

Mediante la fijación de precios neutrales al riesgo, \begin {align*} C(t,S_t) &= e^{-r(T-t)} \mathbb {E}^ \mathbb {Q}[ \max\ {S_T-K,0\} \mid\mathcal {F}_t] \\ &= e^{-r(T-t)} \mathbb {E}^ \mathbb {Q}[(S_T-K) \mathbb {1}_{{S_T}} \geq K\}} \mid\mathcal {F}_t] \\ &= e^{-r(T-t)} \left ( \mathbb {E}^ \mathbb {Q}[S_T \mathbb {1}_{{S_T}} \geq K\}} \mid\mathcal {F}_t] - K \mathbb {E}^ \mathbb {Q}[ \mathbb {1}_{{S_T}} \geq K\}} \mid\mathcal {F}_t] \right ). \end {align*} A partir de aquí, se puede ver inmediatamente la descomposición en probabilidades de ejercicio y opciones binarias.

La primera expectativa suele resolverse con un cambio de numerario. Para calcular la segunda probabilidad, hay que tener en cuenta que \begin {align*} \mathbb {E}^ \mathbb {Q}[ \mathbb {1}_{{S_T}} \geq K\}} \mid\mathcal {F}_t] &= \mathbb {Q}[\ {S_T} \geq K\} \mid\mathcal {F}_t] \\ &= \mathbb {Q}[\{ \ln (S_T) \geq \ln (K)\} \mid\mathcal {F}_t]. \end {align*} Desde $\ln(S_T)\mid\mathcal{F}_t\sim N\left(\ln(S_t)+\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t),\sigma^2 (T-t)\right)$ , usted tiene para $Z\sim N(0,1)$ , \begin {align*} \mathbb {Q}[\{ \ln (S_T) \geq \ln (K)\}] &= \mathbb {Q} \left [ \left\ { \ln (S_t)+ \left (r-q- \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )(T-t)+ \sigma \sqrt {T-t} Z \geq \ln (K) \right\ } \right ] \\ &= \mathbb {Q} \left [ \left\ {Z \geq \frac { \ln (K)- \ln (S_t)- \left (r-q- \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )(T-t)}{ \sigma \sqrt {T-t}} \right\ } \right ] \\ &= \mathbb {Q} \left [ \left\ {Z \geq - \frac { \ln\left ( \frac {S_t}{K} \right )+ \left (r-q- \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )(T-t)}{ \sigma \sqrt {T-t}} \right\ } \right ] \\ &= 1- \mathbb {Q} \left [ \left\ {Z \leq - \frac { \ln\left ( \frac {S_t}{K} \right )+ \left (r-q- \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )(T-t)}{ \sigma \sqrt {T-t}} \right\ } \right ] \\ &= 1- \Phi\left (- \frac { \ln\left ( \frac {S_t}{K} \right )+ \left (r-q- \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )(T-t)}{ \sigma \sqrt {T-t}} \right ) \\ &= \Phi\left ( \frac { \ln\left ( \frac {S_t}{K} \right )+ \left (r-q- \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )(T-t)}{ \sigma \sqrt {T-t}} \right ) \\ &= \Phi (d_2). \end {align*}

Por supuesto, se puede tomar simplemente la densidad log-normal y calcular la expectativa como integral. Hay muchas más formas de derivar la famosa fórmula de Black-Scholes...