Equilibrio de Nash de la secuencia de juegos

Question

Mi configuración es la siguiente.

Tengo una secuencia de juegos $\lbrace G_n \rbrace$ en las que la estrategia del espacio es $S=[0,1]^2$, hay dos jugadores $I=\lbrace 1,2 \rbrace)$, y la rentabilidad de las funciones están dadas por el continuo (sin otras restricciones hasta ahora) funciones $U_i^n(x_1,x_2)$ de cada jugador $i=1,2$. Es decir, cada juego es definido por $G_n = (U^n, S,I)$.

Ahora, yo sé que la rentabilidad de las funciones de $U_i^n$ convergen pointwise a un (discontinua) límite de $U_i$. Por tanto, me anote el 'juego de límite' $G = (U,S,I). $ Podemos escribir una correspondencia que asigna a un juego para sus equilibrios de nash. Llamar a que la correspondencia $EQ$, y definimos, para un juego en particular $G_n$ que $EQ(G_n) = \lbrace (s_{n1}^*, s_{n2}^*), (s_{n1}^{**},s_{n2}^{**}) \dots\rbrace $ donde el lado derecho es el conjunto de (potencialmente infiite) los equilibrios de nash para el juego $G_n$ y, genéricamente, permitimos a cada uno de equilibrio de la estrategia $s_{ni}$ a ser una estrategia mixta. Es decir, una probabilidad de medir más de $[0,1].$

Yo, a continuación, analizó el juego de límites, y han encontrado una única estrategia mixta equilibrios de nash en el juego. Es decir, $EQ(G) = \lbrace (s_1^*, s_2^*) \rbrace$.

No tengo forma cerrada para las soluciones de equilibrios, $\lbrace (s_{n1}^*, s_{n2}^*), (s_{n1}^{**},s_{n2}^{**}) \dots\rbrace $, de los juegos en la secuencia de $\lbrace G_n \rbrace$. Pero, naturalmente, me gustaría decir algo acerca de cómo los equilibrios convergen al equilibrio del juego de límite.

Mis preguntas son (para empezar) de la siguiente manera.

• Dada la pointwise convergencia de la rentabilidad de las funciones de $U^n \rightarrow$ U, ¿en qué sentido puedo decir que los juegos de $\lbrace G_n \rbrace $ convergen en el juego con límite de $G$?
• ¿Cuáles son las condiciones que se necesitan en el equilibrio de la correspondencia $EQ$ para que me puede decir algo acerca de la convergencia de las estrategias de equilibrio? Es decir, soy capaz de, con un argumento, para establecer que existe una secuencia de equilibrios que converge al equilibrio del juego de límite en algún sentido. Es decir, $\lbrace (s_{n1}^*, s_{n2}^*)\rbrace_{n=1}^\infty \rightarrow \lbrace (s_{1}^*, s_{2}^*)\rbrace$, tal vez en el sentido débil, tal vez en el sentido fuerte, o quizás en algún otro sentido.

Cualquier ayuda o referencias son muy apreciados.

Edit: se ha aclarado la notación y la pregunta.

Answer 1

Esto es sólo un largo comentario:

Deje que $\Delta$ ser el espacio de Borel probabilidad de medidas en $[0,1]$. Un equilibrio que puede ser representado como un elemento de $\Delta^2=\Delta\times\Delta$. Una partida de dos jugadores con el continuo de la rentabilidad-funciones con la acción de los espacios $[0,1]$ puede ser visto como un elemento de $C[0,1]^2\times C[0,1]^2$, donde $C[0,1]^2$ es el espacio de funciones continuas (aquí en representación de la rentabilidad de las funciones) de $[0,1]^2=[0,1]\los tiempos de[0,1]$ a los reales, dotado de la topología de la convergencia uniforme, dada por el $\sup$-norma $\|\cdot\|_\infty$ definida por $$\|f\|_\infty=\sup_{x\in [0,1]} |f(x)|=\max_{x\in [0,1]} |f(x)|.$$ Uno define $C[0,1]$ del mismo modo.

También hay un buen comportamiento compacto metrizable la topología en $\Delta$, la topología de la debilidad de la convergencia (o débil*-topología); el más áspero de la topología tales que la función $\mu\mapsto\int f~\mathrm d\mu$ es continua para cada $f\in C[0,1]$. En este contexto, la convergencia en esta topología de la convergencia de las funciones de distribución acumulativa en la continuidad de los puntos. Dejamos que $\Delta^*$ el conjunto de Borel probabilidad de medidas en $[0,1]\times [0,1]$, de modo similar, dotado de la topología de la debilidad de la convergencia.

Podemos entonces definir un equilibrio correspondencia $$\eta:C[0,1]^2\times C[0,1]^2\2^{\Delta\times\Delta}$$ tal que $\eta(v,u)$ es el conjunto de equilibrios dada la rentabilidad de las funciones de $u$ y $v$. La correspondencia ha de valores no vacíos por un teorema de Glicksberg. Desde $\Delta\times\Delta$ es compacto, podemos demostrar que $\eta$ es superior hemicontinuous mostrando que tiene un circuito cerrado gráfico. La función $p:\Delta\times\Delta\to\Delta^*$ que los mapas de estrategias mixtas para su producto independiente es continua (ver Billingsley el libro sobre la debilidad de la convergencia). De ello se sigue, con un poco de análisis, que el "beneficio esperado"la función de los $k_i:\Delta\times\Delta\times C[0,1]^2\to\mathbb{R}$ es continua para $i=1,2$. Ahora por cada $\mu\en\Delta$, vamos $$E_\mu^1 \{(v,u,\nu,\tau)\in \Delta\times\Delta\times C[0,1]^2\times C[0,1]^2\mediados de k_1(\nu,\tau,v)\geq k_1(\mu\tau,v)\}$$ y $$E_\mu^2 \{(v,u,\nu,\tau)\in \Delta\times\Delta\times C[0,1]^2\times C[0,1]^2\mediados de k_2(\nu,\tau,u)\geq k_1(\nu,\mu,u)\}.$$ Cada uno de estos conjuntos es cerrado y la gráfica de $\eta$ es simplemente $$\bigcap_{\mu\en\Delta}E_\mu^1\cap \bigcap_{\mu\en\Delta}E_\mu^2,$$ un conjunto cerrado, por lo que $\eta$ es superior hemicontinuous.

Ahora bien, esto no nos dice nada acerca de lo que sucede si la rentabilidad funciones convergen pointwise y no de manera uniforme!!! La única información útil que la estrategia de espacios compactos, por lo que todavía habrá un convergentes larga. Si usted puede demostrar que esta larga debe converger a su candidato equilibrio - esto será necesario hacer uso de los datos del juego, usted debe ser bueno para ir.