Calcular la distribución de una variable estocástica

Question

el signo $(x)=1$ si $x\geq0$

el signo $(x)=-1$ si $x< 0$

Considere la posibilidad de $$ X_t = \int^t_0 signo(W_u)dW_u $$ donde $W_t$ es un proceso de wiener.

¿Cómo puedo determinar la distribución de $X_t$ y calcular $E[\exp(\lambda X_t )]$?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\{X_t, \, t \ge 0\}$ es continua, cuadrado integrable martingala con cuadrática proceso de variación \begin{align*} \langle X\rangle_t = \int_0^t {\rm signo}^2(W_s)\, ds =t. \end{align*} Entonces, es un estándar de movimiento Browniano basado en la Exacción de la Caracterización de Movimiento Browniano. El resto es sencillo.