¿el precio descontado es una martingala bajo cualquier medida?

Question

Supongamos que tengo una dinámica para el precio de las acciones bajo 2 medidas diferentes: medidas neutrales al riesgo y medidas a plazo: $$dS_t=r S_tdt+\sigma S_td\tilde{W_t}$$ $$dS_t=\alpha S_tdt+\sigma S_td\hat{W_t}$$

ahora defino 2 funciones: $$g(t,s)=\mathbb{\tilde{E}}[e^{-\int_t^Tr_udu}h(S(T))|\mathbb{F}_t]$$ $$f(t,s)=\mathbb{\hat{E}}[e^{-\int_t^Tr_udu}h(S(T))|\mathbb{F}_t]$$ Entonces, en ambos casos $e^{-\int_0^tr_udu}g$ y $e^{-\int_0^tr_udu}f$ son martingalas bajo $\tilde{\mathbb{P}}$ y $\hat{\mathbb{P}}$ respectivamente. En el primer caso, se trata básicamente de descontar con una cuenta bancaria, a la que (utilizando la propiedad de la torre) se asocia la medida RN. En el segundo sin embargo, la medida está asociada al bono de vencimiento $T$ por lo que esperaría $f/B(t,T)$ sea una martingala bajo $\hat{\mathbb{P}}$ pero veo que $e^{-\int_0^tr_udu}f$ es. ¿Así que ambos lo son?

Answer 1

En efecto, según su definición, $e^{-\int_0^tr_s ds}f$ es una martingala bajo la medida de avance $\hat{\Bbb{P}}$ . Tenga en cuenta que, como $f$ no es un proceso de precios de activos, $f/B(t, T)$ no es un proceso de martingala bajo $\hat{\Bbb{P}}$ .

Desde $g$ es un proceso de precios de activos, entonces $e^{-\int_0^tr_s ds}g$ es una martingala bajo la medida de riesgo neutral $\tilde{\Bbb{P}}$ . Además, $g/B(t, T)$ es una martingala bajo la medida de avance $\hat{\Bbb{P}}$ . De hecho, hay que tener en cuenta que \begin{align*} \eta_t =: \frac{d\tilde{\Bbb{P}}}{d\hat{\Bbb{P}}}|_t = \frac{B(0, T) e^{\int_0^t r_s ds}}{B(t, T)}. \end{align*} Entonces, \begin{align*} g(t, S) &= \tilde{\Bbb{E}}\left(e^{-\int_t^T r_s ds} h(S_T) \mid \mathscr{F}_t \right)\\ &=\hat{\Bbb{E}}\left(\frac{\eta_T}{\eta_t} e^{-\int_t^T r_s ds} h(S_T) \mid \mathscr{F}_t \right)\\ &= B(t, T)\hat{\Bbb{E}}\left(h(S_T) \mid \mathscr{F}_t \right). \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} \frac{g(t, S)}{B(t, T)} = \hat{\Bbb{E}}\left(h(S_T) \mid \mathscr{F}_t \right) \end{align*} es una martingala.

Su definición de $f$ es sólo una expectativa condicional, que no tiene ningún significado financiero. Como alternativa, se puede definir $f$ por \begin{align*} f(t, S) =B(t, T)\hat{\Bbb{E}}\left(h(S_T) \mid \mathscr{F}_t \right), \end{align*} pero entonces $f(t, S)=g(t, S)$ .