Demostrar que la varianza de una cartera no puede superar la varianza de los activos individuales

Question

Al leer sobre la teoría de carteras de Markowitz, me topé con el hecho de que en un mercado con dos activos de riesgo, si no se permite la venta en corto, la varianza de una cartera formada por los dos activos no puede superar las varianzas de los activos de riesgo individualmente. Es decir

$${\sigma _p}^2 \le \max \{ {\sigma _A}^2,{\sigma _B}^2\} $$ Donde A y B son dos activos diferentes.

¿Podría demostrar esta afirmación y, si es posible, ofrecer alguna intuición de por qué es así?

Answer 1

Sea $P = \alpha A + (1-\alpha) B$ donde $A$ y $B$ son los rendimientos (aleatorios) de los dos activos, y $P$ es su cartera. Varianza de la cartera $P$ puede escribirse como

\begin{eqnarray*} \sigma^2_P & = & \alpha^2 \sigma^2_A + (1-\alpha)^2 \sigma^2_B + 2\alpha (1-\alpha)\text{Cov}(A, B) \\ & \leq &\alpha^2 \sigma^2_A + (1-\alpha)^2 \sigma^2_B + 2\alpha (1-\alpha)\sigma_A\sigma_B \\ & = &(\alpha\sigma_A + (1-\alpha)\sigma_B)^2 \\ & \leq & (\alpha \max(\sigma_A, \sigma_B) + (1-\alpha)\max(\sigma_A, \sigma_B))^2 \\ & = & \max(\sigma_A^2, \sigma_B^2)\end{eqnarray*}

Answer 2

Sea $w$ denota el peso sobre $A$ para que $1-w$ es el peso sobre $B$ . Recordemos que, según las propiedades de la varianza

$\sigma_p^2 = w^2\sigma_A^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B \rho_{AB}+ (1-w)^2\sigma_B^2$

Sin pérdida de generalidad, supongamos $\sigma_A \geq \sigma_B$ . Queremos demostrar que

$w^2\sigma_A^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B \rho_{AB}+ (1-w)^2\sigma_B^2\leq \sigma_A^2$

Tenga en cuenta que

$\sigma_A^2 = \sigma_A^2 (w + (1-w)) ^2 = \sigma_A^2 w^2 + 2w(1-w)\sigma_A^2 + \sigma_A^2(1-w)^2$

Desde $\sigma_A \geq \sigma_B$ y $w$ , $(1-w)$ y $\sigma_A$ son positivos, esto significa que

$\sigma_A^2 \geq \sigma_A^2 w^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B + \sigma_B^2(1-w)^2$

Y como la correlación tiene la propiedad de que $-1 \leq \rho_{AB} \leq 1$ y $w$ , $(1-w)$ , $\sigma_B$ y $\sigma_A$ son todas positivas, debe darse el caso de que

$\sigma_A^2 w^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B + \sigma_B^2(1-w)^2 \geq \sigma_A^2 w^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B\rho_{AB} + \sigma_B^2(1-w)^2$

Por lo tanto

$\sigma_A^2 \geq \sigma_A^2 w^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B\rho_{AB} + \sigma_B^2(1-w)^2$ $\square$

En otras palabras, si nos fijamos en la fórmula de la varianza de una combinación convexa de variables aleatorias, la varianza se maximiza si la correlación entre los activos es 1. En este caso, los posibles valores de la cartera en función de $w$ son un segmento rectilíneo entre $A$ y $B$ que claramente no puede tener una varianza superior a ninguna de las dos. Ahora, si la correlación es menor que 1, entonces cualquier combinación de las dos será menor que el caso de la línea recta.

Intuitivamente, el rendimiento de los activos $A$ y $B$ se anularán parcialmente siempre que no sean múltiplos fijos entre sí. Este comportamiento de anulación reduce la varianza de la cartera resultante. En el peor de los casos, los dos activos son iguales entre sí, por lo que la cartera nunca puede tener una varianza superior a la del componente con la varianza más alta.